19.2. Некоторые свойства сингулярных функций.

Остановимся кратко на свойствах непрерывности, дифференцируемости и т. п. для сингулярных функций в некоторых областях значений их аргументов. Поскольку мы определяем сингулярную функцию лишь как символическое «ядро» данного линейного функционала, она вообще может не иметь определенных значений, где бы то ни было. Однако в ряде важных случаев сингулярные функции имеют определенные конечные значения и обладают различными свойствами регулярности в соответствующих областях значений их аргументов. Так, например, для функции непрерывны вне светового конуса и т. п.

Поэтому целесообразно дать следующее математическое определение:

Пусть — будет несобственной функцией, интегрируемой в некотором классе — обычной функцией, непрерывной в некоторой области О (пространства точек

будем говорить тогда, что

в области О и что К непрерывна в этой области, если

для всякой функции F из класса , обращающейся вне О в нуль со всеми своими частными производными до порядка включительно.

В этом же смысле условимся понимать и другие свойства регулярности несобственных функций в данной области. Аналогично можно ввести также понятие несобственной сходимости в определенной области значений аргументов. Последовательность несобственных функций интегрируемых в некотором фиксированном классе , будем называть сходящейся в несобственном смысле в области О, если последовательность интегралов

сходится для всякой функции F из , обращающейся в нуль вне О со всеми своими частными производными до порядка включительно.

С помощью введенных определений способы обращения с обычными функциями можно в значительной мере распространить и на несобственные функции. Этими способами можно пользоваться для исследования тех часто встречающихся в квантовой теории поля случаев, когда чисто формальные операции с несобственными функциями приводят к выражениям, не имеющим определенного смысла, например содержащим «расходимости».