6.2. Матрицы Дирака.

Перейдем теперь к изучению свойств четырех гиперкомплексных чисел определенных соотношениями (2). Ранг неприводимого представления этих величин может быть установлен на основании следующих соображений.

Если к указанным четырем числам добавить все возможные их взаимные произведения (включая многократные) и все линейные комбинации полученных этим путем гиперкомплексных чисел со всевозможными комплексными коэффициентами, то мы, очевидно, получим такую совокупность элементов, внутри которой определены операции сложения элементов и умножения элементов на

элемент и на комплексные числа. Как говорят, мы получим тогда некоторую алгебру А над полем комплексных чисел. Кроме того, нам надо будет предположить, что здесь имеется конечномерное матричное представление.

Используя ряд алгебраических теорем, можно показать, что ранг неприводимого матричного представления данной системы гиперкомплексных чисел связан с числом h линейно независимых элементов алгебры А соотношением

При переходе к матричному представлению чисел у не составляет труда убедиться, что это соотношение выражает тот простой факт, что число h линейно независимых квадратных матриц ранга равно числу элементов этих матриц.

Определим число h. Из четырех матриц у путем их взаимного перемножения можно построить 16 линейно независимых матриц:

Легко видеть, что все остальные произведения матриц (2), а следовательно, и все линейные комбинации таких произведений, т. е. вся алгебра А, выражаются через матрицы (7) посредством линейных соотношений. Имеем, например, выполняя коммутации,

Как можно показать, матрицы (7) являются линейно независимыми. Для доказательства этого свойства нам потребуется рассмотреть шпуры матриц (7). Так как шпуром матрицы называется сумма ее диагональных элементов, то возможна циклическая перестановка матричных сомножителей под знаком шпура. Так, например,

Используя это свойство и определение (2), покажем, что шпуры всех матриц (7), кроме единичной, равны нулю.

Рассмотрим, например, шпур одной из матриц Умножим слева на и воспользуемся свойством

цикличности. Имеем тогда:

откуда с помощью (2) получаем:

Аналогичным приемом легко показать, что все остальные шпуры также равны нулю. Для иллюстрации вычислим еще шпур матрицы Циклически переставляя входящую в множителем матрицу , имеем:

Однако результат непосредственной коммутации дает:

откуда непосредственно вытекает, что шпур матрицы равен нулю.

Покажем теперь, что из условия равенства нулю шпуров всех матриц (7), кроме единичной, вытекает их линейная независимость. Для доказательства предположим противное. Пусть

где — некоторые комплексные коэффициенты. Беря шпур от F, находим:

Заметим теперь, что произведения где О — любая из 16 матриц (7), не содержат единичной матрицы 1, за единственным исключением . Поэтому, взяв шпур от произведения получаем, что Подобным образом беря последовательно шпуры от произведений F с каждой из матриц (7), убеждаемся, что все коэффициенты в F равны нулю. Таким образом, число линейно независимых матриц рассматриваемой алгебры равно , а ранг неприводимого представления матриц в соответствии с (6) равен четырем.

Итак, гиперкомплексные числа могут быть представлены в виде четырехрядных квадратных матриц. Из определения (2) вытекает, что четыре матрицы могут быть выбраны унитарными, если условия эрмитова сопряжения наложить в виде

(Здесь под матрицей а, эрмитово-сопряженной с а, как обычно понимается матрица, получаемая из а операцией комплексного сопряжения ее элементов с последующей транспозицией строк и столбцов, т. е. )

Также нетрудно проверить, что матрица антикоммутирует с а ее квадрат равен , т. е.

где, по определению,

При этом

    (14)

Из свойства четырехрядности матриц у вытекает далее, что шпур единичной матрицы равен четырем, т. е.

Принимая теперь во внимание доказанное выше равенство нулю шпуров матриц , а также их произведений и используя основную формулу (2), после небольших дополнительных вычислений приходим к следующей совокупности формул:

Как общее правило, получаем, что шпуры произведений нечетного числа матриц y всегда равны нулю, а шпуры произведений четного числа этих матриц выражаются с точностью до множителя 4 через антисимметризованные суммы произведений соответствующего числа множителей причем знаки отдельных членов этих сумм определяются четностью соответствующей перестановки индексов.

Заканчивая рассмотрение матриц Дирака, отметим, что основные соотношения (2), а вместе с тем и все полученные выше свойства матриц являются инвариантными относительно унитарного преобразования

где О — произвольная неособенная (т. е. обладающая обратной) матрица, которую можно считать унитарной.

Отсюда следует, что вообще матрицы y определены с точностью до унитарного преобразования и конкретное представление этих матриц может быть выбрано различными способами. Обычно употребляют представление матриц Дирака, в котором является

диагональной:

Это представление матриц у связано с иногда употребляемыми матрицами посредством соотношений

Все остальные представления могут быть получены из (18) с помощью преобразования (17).