§ 30. Структура R-операции

30.1. Факторизация R-операции.

Формулы (29.28) в силу их рекуррентного характера еще неудобны для практической работы с диаграммами. Поэтому сейчас мы преобразуем их к более простому виду, а в следующем разделе получим явное выражение для являющееся обобщением a-представления (29.24)

на случай расходящихся диаграмм (см. Щербина (1964), Завьялов, Степанов (1965), Завьялов .

Рассмотрим общую ситуацию, когда отвечающие «конечной перенормировке» полиномы а следовательно, и фигурирующие в (29.28в) операторы Z (G), вообще говоря, отличны от нуля. Пусть — совершенно произвольные обобщенные блоки диаграммы, а — либо оператор либо оператор Назовем тогда «трехточечным произведением» величину, заданную правилами:

а) Если среди найдется хотя бы одна пара частично пересекающихся (т. е. не содержащихся один в другом, но имеющих общие вершины) обобщенных блоков, то: полагается равным нулю.

б) Если среди найдется пара такая, что содержится в , то также полагается равным нулю.

в) Во всех других случаях полагается равным обычному произведению тех же сомножителей взятых в «естественном» порядке. Естественным при этом считается такой порядок, что из того, что содержится в следует, что стоит левее

Теперь можно сформулировать следующее утверждение:

где — все расходящиеся сильно-связные обобщенные блоки диаграммы

Таким образом, чтобы выразить R (G) непосредственно через операторы М и Z, нужно раскрыть скобки в правой части (1), из полученной суммы вычеркнуть все слагаемые, удовлетворяющие условиям а) или б), а в оставшихся слагаемых провести «естественную» перестановку сомножителей. В частности, если диаграмма не содержит частично пересекающихся расходимостей, то (1) сводится к обычному произведению

Переходя к доказательству соотношения (1), покажем сначала, что если не совпадает с одиночной вершиной, то

    (3)

где произведение берется по всем строго содержащимся в Чтобы доказать этот факт, достаточно проверить, что операторы (3) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (29.28в).

Пользуясь свойствами «трехточечного произведения», перепишем (3) в виде

Следовательно, теперь нужно установить, что «трехточечное произведение» в правой части (4) совпадает с суммой в правой части формулы (29.28в), примененной к

Положим для краткости , раскроем в рассматриваемом «трехточечном произведении»

скобки и вычеркнем из полученной суммы все слагаемые, содержащие произведения с частично пересекающимися . Каждое из оставшихся слагаемых определяет некоторое разбиение вершин G; на непересекающиеся группы вершин . Именно, каждое такое слагаемое задает некоторое отношение эквивалентности между вершинами диаграммы — две вершины считаются эквивалентными, если в соответствующем слагаемом найдется множитель такой, что обобщенный блок G, содержит эти вершины. Классы эквивалентности вершин по этому отношению и являются группами

С другой стороны, для каждого разбиения диаграммы на непустые непересекающиеся группы вершин найдутся слагаемые в сумме (5), порождающие именно это разбиение. Это такие слагаемые, что в качестве максимальных сомножителей в них фигурируют именно В отвечающие группам данного разбиения (сомножитель ) назовем максимальным, если в соответствующем слагаемом нет других таких, что содержится в

Таким образом, произведение (5) можно трактовать как некоторую сумму по всевозможным разбиениям . При этом данному разбиению , где — одновершинные обобщенные блоки, содержит не менее двух вершин, отвечает член

причем каждый из обобщенных блоков строго содержится в . В соответствии с правилами «трехточечного упорядочения» последнее выражение можно записать в виде

где имеет форму (3). Учитывая также, что для одновершинных обобщенных блоков , получаем, что

Таким образом, мы проверили выполнение рекуррентных соотношений (29.28в) для построенных операторов А, и формула (3) доказана Рассмотрим теперь выражение :

где произведение распространяется на все обобщенные узлы G; диаграммы G, содержащие не менее двух вершин. Повторив применительно к этому произведению рассуждения о классах эквивалентности вершин, мы снова придем к выводу, что R (G) есть сумма по всевозможным разбиениям G на непустые непересекающиеся группы вершин . Снова заданному разбиению , где — одновершинные узлы, будет отвечать в этой сумме слагаемое:

Иначе говоря, R (G) совпадает с правой частью формулы (29.30) и, следовательно, Утверждение (1) доказано