§ 17. Приведение к нормальной форме

17.1. Коэффициентные функции операторных выражений.

Прежде чем перейти к изложению теории взаимодействующих полей, необходимо предварительно ознакомиться с рядом свойств, в основном алгебраического характера, которыми обладают операторные выражения, построенные из квантованных волновых функций свободных полей.

Возьмем типичное операторное выражение, зависящее от значений положительно- и отрицательно-частотных частей таких функций в ряде пространственно-временных точек и представленное в нормальной форме:

Здесь — компоненты волновых функций или их частные производные, — некоторые с-функции переменных обладающие ввиду однородности пространства-времени свойством трансляционной инвариантности:

Эти функции мы условимся называть коэффициентными функциями данного операторного выражения (1). Из-за сингулярности перестановочных соотношений они будут, вообще говоря, сингулярными, и вопрос об их математической природе будет специально рассмотрен ниже. Пока же заметим, что через них нетрудно выразить непосредственно матричные элементы оператора по всевозможным состояниям

соответствующим наличию данных сортов частиц с заданными импульсами . Для этого требуется лишь построить матричные элементы типа

что нетрудно выполнить с помощью перестановочных соотношений, записанных в форме

где — полиномы по компонентам

В самом деле, будем переставлять операторы рождения налево, а операторы уничтожения направо до тех пор, пока они «погасятся» соответственно с или дадут нуль, подействовав на амплитуду состояния вакуума. Как видно, отличный от нуля результат получится, лишь когда все На погасятся с , а все .

Возникшие при «погашении» -функпии снимут интеграцию по переменным сделав их равными Оставшиеся свободными должны также взаимно погаситься, ввиду чего появятся множители типа

В результате этих элементарных операций получим для матричных элементов (4) выражения вида

или

в которых являются полиномами из компонент Выражение (7) будем иметь в случае, когда все скомпенсируются с в противном случае придем к выражению (8).

Таким образом, на основании (1) найдем окончательно:

Ввиду очевидного удобства нормальной формы представления операторных выражений хотя бы, например, для определения их матричных элементов приобретает интерес вопрос о соответству ющей методике приведения. Ясно, что для приведения к нормальной форме операторных выражений, полиномиально зависящих от

волновых функций, достаточно уметь приводить произведения типа в которых А] будут «линейными операторами», т. е. линейными комбинациями соответствующих

В каждом данном случае непосредственное преобразование такого произведения не представляет принципиальных затруднений. Для этого совершенно достаточно последовательно перемещать и налево, а и направо и при каждой «передвижке» использовать перестановочные соотношения. Тем не менее, ввиду большого числа получающихся при этом членов уже при сравнительно малых целесообразно иметь рецептуру для возможно более автоматического выполнения операции приведения к нормальной форме.

Такая рецептура вытекает из одной важной теоремы, установленной Виком (1950), к формулировке которой мы сейчас и перейдем.