§ 25. Вероятности процессов рассеяния и эффективные сечения

25.1. Нормировка амплитуды состояния.

Установим связь между матричными элементами S-матрицы и вероятностями процессов рассеяния. Рассмотрим вначале случай, когда взаимодействие включено с интенсивностью локализованной в конечной пространственно-временной области, и поставим обычную задачу теории рассеяния, когда до включения взаимодействия имеется s потоков частиц с точно определенными импульсами и внутренними квантовыми числами , характеризующими массу, заряд и спин, и требуется найти среднее число частиц, рассеянных с импульсами, лежащими в бесконечно малых областях и с внутренними квантовыми числами .

Ясно, прежде всего, что, как и в аналогичных задачах обычной квантовой механики, мы имеем здесь дело с ненормированными амплитудами состояний и должны воспользоваться нормировкой на единицу объема. Чтобы определить амплитуду состояния с такой нормировкой, естественно обратиться к предельному переходу, рассматривая последовательность амплитуд состояний с неограниченно возрастающей обычной нормой.

Получим эту амплитуду сначала для случая одной частицы. Возьмем амплитуду одночастичного состояния

и заметим, что ее норма равна

Поэтому, полагая можем считать, что выражение

дает вероятность того, что частица, характеризуемая внутренним квантовым числом а, обладает импульсом в интервале около

среднего значения . Сама функция является, таким образом, волновой функцией частицы в импульсном представлении. Поэтому ее фурье-образ

есть волновая функция в конфигурационном представлении с нормой, равной

При величину

можно интерпретировать как вероятность в конфигурационном пространстве. Полагая N равным числу частиц, много большему единицы, находим, что эта величина дает среднее число частиц в бесконечно малом элементе объема .

Увеличивая теперь неограниченно норму N так, чтобы при этом стремилось к выражению

мы будем получать волновой пакет со все более фиксированным импульсом. Из (3) находим, что

а потому также

и в пределе на единицу объема будет приходиться одна частица.

Переходя в (1) к пределу, получаем выражение для амплитуды одночастичного состояния, нормированной на единицу объема:

В случае нескольких сортов частиц вместо (1) следует рассмотреть выражение

где все различны. Норма такой амплитуды представится, очевидно, произведением норм s одночастичных состояний:

Повторяя только что проведенное рассуждение отдельно для каждого из сомножителей (8) и (9), приходим к выводу, что амплитуда многочастичного состояния, нормированная для каждой

находящейся в этом состоянии частицы на единицу объема, имеет вид