38.3. Уравнения Швингера.

Перейдем теперь к процедуре получения уравнений в вариационных производных. Рассмотрение проведем для спинорной электродинамики, введя в лагранжиан взаимодействия внешний электромагнитный ток по формуле (4). Источников спинорных полей вводить не будем.

В этом случае связная одноэлектронная функция Грина

будет функционалом J, Явную запись этой зависимости в левой части (28) мы не делаем. Числитель выражения (28)

используя обобщенную теорему Вика и формулу (8), представим в виде

Учитывая далее соотношение (б) и действуя на (29) оператором получим после небольших преобразований

Последний член в правой части может быть выражен через вариационную производную от . Заметим для этого, что вариационное дифференцирование оператора S по эквивалентно его умножению на Имеем поэтому

Таким образом,

Переходя к функции Грина получаем отсюда

Входящая в последний член величина

согласно (37,22) представляет собой среднее наблюдаемое значение оператора потенциала электромагнитного поля. В соответствии с (37.26) она может быть также представлена в виде

где функционал Z связан с соотношением (37.25).

Подставляя (31) в (30), получаем искомое функциональное уравнение для однофермионной функции Грина:

Построим теперь соответствующие уравнения для . Для этого с помощью (1) и (8) представим в виде

Используя далее (7) и (15.20), получаем:

где обозначено

Вспоминая, что функция удовлетворяет уравнению

получаем, применяя к (33) операцию ,

Замечая, что

получаем окончательное уравнение для в форме

Уравнения (32) и (35) образуют систему, из которой можно определить две неизвестные величины, G и , через заданную функцию J. Эти уравнения были впервые получены Швингером (1951а, б), который исходил из специально сформулированного им квантового динамического принципа. Уравнения типа (32) и (35) называются уравнениями Швингера.