§ 2. Теорема Нётер и динамические инварианты

Для описания физической системы еще недостаточно знать уравнения движения. Необходимо также уметь выражать через решения этих уравнений основные физические характеристики

системы. Такие, сохраняющиеся во времени, аддитивные динамические величины мы будем называть динамическими инвариантами (иногда для краткости — инвариантами). Инструментом, позволяющим получать выражения для динамических инвариантов, является известная теорема Э. Нётер.

2.1. Теорема Нётер

гласит, что всякому конечно-параметрическому (зависящему от s постоянных параметров) непрерывному преобразованию функций поля и одновременно координат, обращающему в нуль вариацию действия (при условии выполнения уравнений движения), соответствует s динамических инвариантов, т. е. сохраняющихся во времени комбинаций функций поля и их производных.

Для доказательства рассмотрим бесконечно малое преобразование координат и функций поля:

Вариации выражаются через бесконечно малые линейно независимые параметры преобразования формулами:

Индексы функций поля i и параметров преобразования могут иметь (или не иметь) простое тензорное содержание. Мы не будем пока его конкретизовать и условимся подразумевать суммирования по этим индексам, когда они дважды повторяются.

Отметим, что закон преобразования производных функций поля

содержит вариации не являющиеся производными от . Иными словами, операции не перестановочны. Дело в том, чтобы — вариация функции поля как за счет изменения ее формы, так и за счет изменения аргумента. Введем вариацию формы функции

которая с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть представлена в виде

По определению операции она перестановочна с Определим теперь вариацию действия

где

причем

Здесь — вариация за счет вариаций формы

а второй член описывает полную вариацию за счет вариаций координат. Итак:

Рассмотрим разность последних двух членов, описывающую вариацию объема интегрирования.

Преобразуем элемент объема

Поэтому

и

Используя уравнение движения

получаем

и

С учетом (3) и (4) имеем:

где

Из требования исчезновения вариации действия получаем теперь, приравнивая нулю коэффициенты при независимых параметрах

преобразования :

Используя произвольность области интегрирования, приходим к уравнению непрерывности

Преобразуя интеграл в правой части (6) по теореме Гаусса, можно получить законы сохранения соответствующих поверхностных интегралов. Считая для этого, что интегрирование в (6) происходит по объему, неограниченно расширяющемуся в пространственноподобных направлениях и ограниченному во времениподобных направлениях пространственно-подобными трехмерными поверхностями и получим, предполагая, что на границах пространственного объема поле практически равно нулю:

Здесь — проекция элемента поверхности а на 3-плоскость, перпендикулярную к оси Полученное уравнение показывает, что поверхностные интегралы

фактически не зависят от поверхности . В частном случае, когда поверхности представляют собой 3-плоскости , интеграция происходит по трехмерному конфигурационному пространству и интегралы

    (8)

не зависят от времени.

Таким образом, доказано, что каждому непрерывному -параметрическому преобразованию координат (1) и функций поля (2) соответствуют s инвариантов , не зависящих от времени.

Величины неоднозначны. К ним могут быть прибавлены выражения вида

при условии, что

Указанный произвол, однако, не влияет на значение сохраняющихся интегралов (8).

Перейдем к конкретизации величин и связанных с ними законов сохранения (8).