Главная > Введение в теорию квантованных полей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

52.3. Локальные свойства.

Прежде чем приступить к формулировке необходимых нам локальных свойств теории, напомним соответствующие моменты обычной схемы. Начнем с того, что представление S-матрицы рассеяния через Т-экспоненту

позволяет сразу же получить ее вариационные производные. Например,

Выражения того же типа получаются и для высших вариационных производных.

Условие причинности можно теперь записать в виде, аналогичном (20.31):

Заметим, далее, что амплитуда вероятности для процессов рассеяния свободных частиц (т. е. для процессов, в которых отсутствуют и не возникают связанные комплексы) выражается через вакуумные средние от вариационных производных S-матрицы по свободным

полям. В самом деле, рассмотрим матричный элемент

для процесса, в начале которого имеются частицы с импульсами и другими квантовыми числами а в конце — частицы с импульсами и другими квантовыми числами (при этом, как обычно, считается, что среди пар нет совпадающих). Воспользуемся перестановочными соотношениями типа (24.11), (24.12)

и примем во внимание, что должен быть четной функцией ферми-полей. Это даст (ср. (38.11) и (38.12)):

Будем переносить в (13) все операторы уничтожения вправо до тех пор, пока они, подействовав на , не дадут нуль, а операторы рождения — влево. Тогда с помощью (14) мы сможем выразить матричный элемент (13) в виде суммы членов, пропорциональных интегралам

Исключая вакуумные петли, мы получим под интегралами матричные элементы вида

В справедливости написанного соотношения легко убедиться, если учесть, что амплитуда может отличаться от лишь на фазовый множитель, который как раз и равен

Мы пришли, таким образом, к важному понятию радиационного оператора порядка

Как видно, под порядком оператора здесь понимается суммарная степень вариационных производных. Матричные элементы сводятся к вакуумным ожиданиям таких радиационных операторов (13).

Может возникнуть сомнение в законности перехода к вариационным производным по квантовым полям (38.9), поскольку свойство квантованных функций удовлетворять уравнениям поля никак не отряжено в определении (38.9). Од-иако нетрудно убедиться, что каких-либо оснований для подобных сомнений нет. В самом деле, в S-матрице упомянутое свойство связано q процедурой вычисления матричных элементов и проявляется лишь для тех операторов поля, которые с точки зрения диаграмм Фейнмана соответствуют внешним линиям. При этом указанное свойство является тривиальным следствием перестановочных соотношений (4) между оператором и , входящим в матрицу S, и оператором рождения (или уничтожения) свободной частицы в выражении для амплитуды состояния. Поэтому при рассмотрении S-матрицы и ее вариационных производных мы можем полностью отвлечься от указанного свойства (и считать, что здесь мы имеем дело с формальным расширением функционала S на класс функций, не подчиняющихся каким-либо уравнениям). При этом, разумеется, на конечном этапе при переходе к матричным элементам приходится рассматривать проекцию S на множество операторов, удовлетворяющих уравнениям свободных полей (речь идет лишь об операторах, соответствующих внешним линиям диаграмм Фейнмаиа!).

Для дальнейшего изложения не потребуется не только представление -матрицы через Г-экспоненту, но даже и понятие лагранжиана взаимодействия. Достаточно будет лишь сохранить возможнссть вариационного дифференцирования S-матрицы, условие причинности в форме (12) и возможность выражения амплитуды перехода (13) через интегралы типа (15). Поэтому мы приходим к возможности сформулировать следующие

Локальные свойства.

А . Реальные элементарные частицы характеризуются бозонными и фермионными полями и которые обладают теми же трансформационными и коммутационными свойствами, что и в теории свободных полей. Оператор S по этим полям обладает вариационными производными любого порядка. Вариационные производные имеют здесь все свои обычные свойства; так, их трансформационный характер обусловливается трансформационными свойствами полей. Производные по бозонным полям коммутируют, а по фермионным — антикоммутируют между собой.

Радиационные операторы (17) и произведения таких операторов с независимыми аргументами являются интегрируемыми (в смысле определения § 18), т. е. все матричные элементы

суть обобщенные функции, интегрируемые на одном из классов .

Б. Выполняется условие причинности в форме (12).

В. Пусть

обозначает амплитуду состояния системы бесконечно удаленных элементарных частиц с импульсами и другими квантовыми числами . Тогда матричный элемент

может быть выражен через вакуумные средние радиационных операторов (12) с помощью следующего формального приема. Запишем

и будем переносить операторы уничтожения направо, а налево, пока не получим членов, в которых а действуют на , а на и которые обращаются в нуль. При этом будем пользоваться для перестановки а обычными соотношениями теории невзаимодействующих полей, а для перестановок а, а и S — соотношениями типа (14).

Выразив таким путем через вакуумные ожидания от вариационных производных S-матрицы и используя затем условие можно свести их к вакуумным средним от радиационных операторов.

Сформулированные общие и локальные свойства можно рассматривать как аксиомы, лежащие в основе наших представлений о квантовой теории взаимодействующих полей. Мы увидим ниже, что эти аксиомы позволяют получить большое число строгих следствий общего характера, таких как одномерные спектральные представления одночастичных функций Грина (§§ 53, 54), четырех-(и пяти-) мерные спектральные представления для амплитуды рассеяния (§ 55) и, наконец, дисперсионные соотношения для амплитуд рассеяния вперед (§§ 56, 57), связывающие между собой только наблюдаемые на опыте величины.

1
Оглавление
email@scask.ru