50.4. Матричные элементы и вероятности переходов.

Как упоминалось в § 49.4, мультипликативные преобразования Дайсона (см (49.48)) могут быть записаны для высших сильно-связных вертексов Редукционные формулы § 38.2 позволяют затем перейти к формулам преобразований для матричных элементов

введенных согласно (25.17). Отметим, что матричные элементы преобразуются обратно по отношению к сильно-связным вертексам Г и подобно слабо-связным функциям G.

Теперь можно, следуя Бланку (1957а), сделать следующий шаг и перейти к квадратам матричных элементов, т. е. к вероятностям переходов, пропорциональных квадратам матричных элементов

Для вероятностей переходов можно записать формулы преобразований, подобные (25), а также соответствующие функциональные и дифференциальные уравнения.

При переходе к таким уравнениям следует иметь в виду, что в матричных элементах и вероятностях перехода часть инвариантных импульсных аргументов находится на массовой поверхности и тем самым фиксирована. Поэтому, как отмечалось в § 49.4, при исследовании ультрафиолетовых асимптотик матричных элементов (т. е. несимметричных асимптотик функций Грина) возникают определенные трудности.

Это, однако, не относится к случаю инфракрасных особенностей, где удается эффективно использовать уравнения ренормализационной группы. Основным инструментом являются дифференциальные уравнения типа (48.20) и их квадратуры вида (23), записанные для квадратов матричных элементов.

Квадратуры типа (23) приводят эффективно к тому, что нормированную радиационную поправку к W необходимо «ставить в экспоненту»,

подобно тому, как это имеет место при переходе от формул теории возмущений (23) для электронной функции Грина к результату интегрирования (24) группового дифференциального уравнения.

Как известно (см. также § 35.4), в обычной теории возмущений для устранения инфракрасной катастрофы помимо основного процесса рассматривают также процесс с излучением одного дополнительного мягкого фотона, энергия которого не превышает . При этом зависимость суммарной вероятности от оказывается сингулярной . Для получения физически правильного результата следует просуммировать бесконечный ряд диаграмм, описывающих излучение различного числа длинноволновых фотонов. При использовании техники ренормализационной группы задача сильно упрощается. Вклад от процесса с одним мягким квантом, пропорциональный Етах в результате (26) оказывается в показателе экспоненты. Полученное выражение эквивалентно бесконечной сумме по различному числу мягких фотонов и обладает правильным пределом (обращается в нуль) при

Детальные вычисления для процесса рассеяния электрона во внешнем поле были проведены Бланком (19576).