10.5. Перестановочные соотношения в дискретном импульсном представлении.
Приведем еще запись перестановочных соотношений в упоминавшемся выше (§ 3) дискретном импульсном представлении. Используя дискретное разложение типа (3.28) для функций поля
и дискретное представление типа (3.31) 4-вектора энергии-импульса
где
выкладкой, аналогичной вышеприведенной, приходим к следующим дискретным перестановочным соотношениям: в случае спинорного поля
в случае всех остальных полей
Здесь 
— произведение символов Кронекера;
а дискретные операторы а 
связаны с непрерывными 
в пределе больших L соотношениями типа (3.30):
В теории вторичного квантования квадратичные комбинации дискретных операторов рождения и уничтожения типа
играют роль операторов числа частиц. В самом деле, рассмотрим случай квантования по Бозе—Эйнштейну. Получим тогда из (26)
Обозначая оператор 
через n:
покажем, что собственные значения N оператора 
целочисленны. Рассмотрим для этого выражение
Выполняя последовательные коммутации операторов 
с учетом следующего из (27) и (28) соотношения
получаем последовательно:
откуда следует
Ввиду того, что оператор
представляет собой произведение некоторого оператора на сопряженный ему, матричный элемент (30) не может быть отрицательным С другой стороны, при нецелом N найдется такое
при котором (31) станет меньшим нуля, что невозможно. Следовательно, N — целое число.
Как видно, в дискретном представлении 4-импульс и заряд выражаются суммами тнпа
где 
— 4-импульс или заряд одной частицы в состоянии v. Естественно поэтому считать 
оператором, представляющим число частиц в данном состоянии. Обратимси к квантованию Ферми—Дирака:
Обозначая
исследуем собственные значения N оператора 
. Рассмотрим для этого выражение
Коммутируя операторы 
с учетом соотношений
получаем:
т. е.
откуда
и, следовательно,
Используя выражения операторов энергии-импульса и заряда, далее без труда находим, что числа 
соответствующие операторам
действительно равны числу частиц с соответствующими импульсами и зарядами, и операторы 
поэтому явлиются операторами числа частиц.
Мы видим, таким образом, что квантование по Бозе—Эйнштейну и Ферми—Дираку приводит к совершенно различным физическим картинам. При квантовании по (27) числа заполнения N могут принимать любые сколь угодно большие целые значения. В случае статистики Бозе—Эйнштейна в одном и том же состоянии
(характеризуемом 4-импульсом, зарядом и спином) может находиться любое сколь угодно большое число частиц. Наоборот, при квантовании по (32) числа заполнения в согласии с (33) принимают лишь два значения: 0 и 1. Соотношение (33) является выражением принципа Паули: в системе частиц, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака, в одном и том же состоянии может находиться не более одной частицы.
Мы вкратце рассмотрели здесь обычное дискретное представление функций поля, применявшееся главным образом в раиних работах по квантовой теории поля. Его достоинством является простота и наглядность введении чисел заполнения и возможность представления амплитуды состояния как функции этих чисел.
Одиако ввиду его нековариантности мы не станем его использовать в нашем изложении и будем иметь дело с непрерывным представлением.
Нетрудно заметить, что в этом случае операторные выражения
играют роль плотности числа частиц в трехмерном импульсном пространстве.
