38.4. Уравнения Дайсона.

Можно несколько преобразовать уравнения Швингера с тем, чтобы они превратились в систему интегро-дифференциальных уравнений для электронной функции G и фотонной функции D, не содержащую явно операторов вариационного дифференцирования. Для этого оказывается удобным совершить переход от J к новому функциональному аргументу т. е. переход, рассмотренный в § 37.4 при введении вершинных функций.

Введем связную (одно)фотонную функцию Грина На основании (37.23), а также (37.27) имеем

Поэтому вариационная производная по J может быть выражена через производную по 21 соотношением

внося которое в (32), получаем

С другой стороны, дифференцируя уравнение (35) по , с учетом (35) и (37), получаем

Уравнения (38) и (39) образуют систему, в которой функции Грина G и D следует рассматривать как функционалы эффективного поля . Ток J в этих уравнениях не фигурирует.

Входящие в (38) и (39) вариационные производные с помощью соотношений типа (37.28), (37.34) могут быть выражены через сильно-связную вершинную функцию

Формула (40) является аналогом формулы (37.36). Получаем:

Подставляя (41) в уравнения (38) и (39), находим

и

где введенные оператор массы М и оператор поляризации Р определены соотношениями

Подчеркнем, что операторы Г, М и Р подобно функциям Грина G и D, являются функционалами .

Для уяснения физического смысла операторов Г, М и Р удобно перейти от интегро-дифференциальных уравнений (42), (43) к чисто интегральным уравнениям с помощью операции, обратной применению операторов Для этого достаточно умножить (42) на и интегрировать по . В результате интеграции по частям получим:

или, в символической сокращенной форме,

Уравнениям (46—48) могут быть сопоставлены графические схемы, изображенные на рис. 57 Входящие в эти схемы элементы

Рис. 67.

М и Р расшифровываются с помощью определений (44) и (45), что графически изображено на рис. 58.

Интегральные уравнения для полных функций Грина типа (44—48) называются иногда уравнениями Дайсона. Существенно, что подобные уравнения не образуют замкнутой схемы. Так, в уравнения (44—48) входит вершинная функция Г, которая связана с G операцией вариационного дифференцирования. Разумеется для Г можно также получить интегральное уравнение. Для этого следует продифференцировать по уравнение (46) и затем по формуле (40) перейти к Г. Полученное таким путем соотношение в своей правой части будет содержать величину

связанную с четыреххвостной вершинной функцией комптоновского типа. Таким образом, система (44-48) дополненная «уравнением» для Г, опять окажется незамкнутой. Продолжая этот процесс дальше, мы будем получать уравнения, содержащие все более высокие функции Грина. Уравнения (44—48), функционально зависящие от , являются производящими уравнениями для такой бесконечной цепочки.

Рис. 58.

Изложенный метод может быть также непосредственно применен к получению замкнутых уравнений для более сложных образований, например для функций Грина двух фермионов, двух фотонов и т. п. Определяя подобные функции через вакуумные ожидания от хронологического произведения соответствующего числа операторов полей, с помощью обобщенной теоремы Вика можно построить для них уравнения, подобные полученным Швингером (19516) для двухфермионной функции Грина.