21.3. Определение явного вида

Из условий ковариантности, унитарности и причинности для матрицы в целом мы получили условия ковариантности, унитарности и причинности для функций . Покажем теперь, что совокупность этих условий (4), (9), (13) вместе с дополнительными соображениями, представляющими принцип соответствия, достаточна для определения явного вида функций .

При этом оказывается, что формулы (9) и (13), рассматриваемые как рекуррентные соотношения, позволяют определить любую функцию через «предыдущие» причем условие унитарности (9) служит для определения эрмитовой части функции , а условие причинности (13) определяет антиэрмитову часть . Поэтому построение функций можно провести методом индукции, для чего, однако, необходимо иметь явное выражение Эта функция может быть определена из соображений соответствия.

Итак, рассмотрим функцию . Условие причинности еще не может быть сформулировано для одной функции, но, как мы увидим ниже, из условия причинности при вытекает, что должны коммутировать в пространственно-подобных точках:

для чего, очевидно, достаточно, чтобы удовлетворяла условию локальности (в смысле определения, данного в § 17).

Записывая условие унитарности при имеем:

откуда следует, что может быть представлена в виде

где — эрмитов оператор. Наконец, условие релятивистской ковариантности (4) дает:

Таким образом, должен быть эрмитовым релятивистски ковариантным оператором, удовлетворяющим условию локальности.

Свяжем теперь с лагранжианом взаимодействия Как известно, в классической теории взаимодействие учитывается с помощью добавления к лагранжиану свободных полей

лагранжиана взаимодействия и «уравнения движения» могут быть получены с помощью принципа стационарного действия. Рассмотрим действие А системы классических полей для случая, когда взаимодействие включено с интенсивностью . Имеем тогда:

где в стоят функции поля, удовлетворяющие соответствующим уравнениям движения. В частности, считая бесконечно малой первого порядка, видим, что эти функции поля будут отличаться от функций свободных полей также на бесконечно малые первого порядка. С другой стороны, поскольку уравнения свободных полей получаются из условия

то, если под знаком первого интеграла (18) функции поля записаны с точностью до бесконечно малых первого порядка, это вызовет в значении интеграла ошибку второго порядка малости.

Поэтому при включении взаимодействия с бесконечно малой интенсивностью действие в системе изменится на величину , в которой зависит от волновых функций свободного поля. Как известно, в квазиклассическом случае решение обычного уравнения Шредингера для волновой функции

принимает вид , где А — действие системы. Переходу от невозмущенного выражения

к действию (18), очевидно, будет соответствовать преобразование волновой функции

Таким образом, с учетом малости величины g этому переходу соответствует следующее преобразование волновой функции:

Исходя из соображений соответствия, мы потребуем, чтобы закон преобразования вторично квантованной амплитуды состояния Ф имел тот же самый вид, т. е. чтобы

Иначе говоря, мы полагаем, что при бесконечно малом g матрица будет иметь вид

Сравнивая это выражение с (1), видим, что действительно имеет вид (16), где равно лагранжиану взаимодействия:

Из соотношений (14), (15), (17) теперь следует, что лагранжиан взаимодействия должен быть локальной, эрмитовой и релятивистски ковариантной комбинацией операторных функций поля. Заметим здесь, что, как легко показать, скалярные комбинации операторных функций, удовлетворяющих условию (9.23), автоматически приводят к удовлетворению условия релятивистской ковариантности, тогда как условия эрмитовости

и локальности

представляют собой дополнительные условия, ограничивающие выбор лагранжиана взаимодействия.

Перейдем теперь к определению . Из условия причинности (13) для получаем при х у

откуда, принимая во внимание (15), находим:

Ввиду симметричности имеем также:

Области определений (23), (24) перекрываются при что приводит к условию совместности в виде (14) или (22), представляющем собой условие локальности для или X.

Итак, определение функции имеет следующий вид:

Путем эрмитова сопряжения получаем также с учетом (21)

Симметричность и полилокальность следуют из формы записи. Ясно, что (25) удовлетворяет условию ковариантности. Нетрудно убедиться также в выполнении условия унитарности.

В соответствии с (9) нужно проверить соотношение

Его справедливость непосредственно следует из (20), (21), (25), (26). Действительно, имеем, например, при

Аналогично убеждаемся в справедливости этого соотношения при . Таким образом, установлено, что выражение (25) удовлетворяет всем налагаемым на требованиям.