39.4. Основные свойства обобщенного гамильтониана.

Установим теперь ряд основных свойств введенного обобщенного гамильтониана . Ясно, прежде всего, что оператор является эрмитовым (это было установлено еще в § 21.2), т. е.

Трансформационные свойства могут быть получены из условия ковариантности матрицы

    (20.21)

Вспоминая, что , получаем отсюда

т. е.

Теперь легко видеть, что ковариантность уравнения (1), как это и должно быть, является следствием законов преобразования амплитуды состояния (20.18) и гамильтониана (29). В самом деле, переходя в (2) от g к и используя (20.18), получаем последовательно

или, с учетом (29),

чем и доказана ковариантность.

Нетрудно заметить, что определение гамильтониана (21.10) с учетом унитарности матрицы ) автоматически обеспечивает совместность уравнений (1). Для этого достаточно вычислить вторую вариацию амплитуды состояния

и установить, что ее значение не зависит от порядка варьирования при (подробнее об этом см. в § 40.2).

Мы видим, таким образом, что, исходя из матрицы рассеяния, определенной условиями унитарности, причинности и ковариантности, можно однозначно получить уравнение типа Шредингера, удовлетворяющее условиям ковариантности, совместности и локализуемости гамильтониана. Можно также показать возможность обратной процедуры.

Как уже отмечалось, оба формализма (т. е. уравнение Шредингера и матрица ) не содержат обычных расходимостей при условии принадлежности g к классу G. Поэтому встает вопрос о формулировке всей теории для случая, когда взаимодействие включено с интенсивностью . Иначе говоря, требуется уметь определять основные физические величины с помощью амплитуды состояния , подобно тому как они определяются в обычной теории с помощью амплитуд или . Так как специальный вид функции g не имеет физического смысла, необходимо обеспечить при построении теории независимость наблюдаемых значений физических величин от частного выбора .