§ 54. Спектральное представление фермионной функции Грина

54.1. Радиационные ферми-операторы.

Обратимся к построению спектрального представления для вакуумного ожидания фермиевского радиационного оператора второго порядка

который, как было показано в § 53.1, является единственным радиационным ферми-оператором второго порядка, содержащим вторую вариационную производную и обладающим отличным от нуля вакуумным средним. Поскольку отличие нижеследующих рассуждений от материала в § 53 обусловлено лишь отличием трансформационных свойств R и Q, мы проведем изложение более конспективно.

Для вспомогательных целей введем радиационные ферми-операторы первого порядка

и

связанные между собой соотношением

Определения (2), (3) выбраны таким образом, что введенные «фермионные токи» в низшем порядке теории возмущений соответствуют швингеровским источникам в лагранжиане взаимодействия

Выражая вариационные производные по фермионным аргументам от фермионных токов через вторые вариационные производные и произведения токов, получаем следующие соотношения:

    (4)

Используя условие причинности, получаем отсюда

    (6)

Введем в рассмотрение вакуумные средние

которые на основании (4) и (5) связаны с соотношениями

При этом в силу условия причинности

По срображениям изотопической и лоренцевой инвариантности все эти функции имеют следующую структуру:

где — инвариантные скалярные функции, s и t — изотопические (протонно-нейтронные) индексы, а компоненты содержат обычные матрицы Дирака четвертого ранга.

Принимая затем во внимание свойства инвариантности выражений (8) — (9) относительно преобразования зарядового сопряжения (см. § 13.4), получаем, что функции и связаны между собой соотношениями