§ 12. Электромагнитное поле

12.1. Особенности электромагнитного поля и схема квантования.

При квантовании электромагнитного поля необходимо одновременно удовлетворить требованиям положительности плотности энергии, дополнительному условию Лоренца и условию поперечности. Вся формулировка должна при этом обладать свойством релятивистской ковариантности.

Сходное положение мы имели при квантовании векторного мезонного поля. Отличие состоит в том, что векторные мезоны могут находиться в трех спиновых состояниях, а фотоны из-за их поперечности — лишь в двух и что в противоположность мезонам масса покоя фотонов равна нулю. Первое обстоятельство приводит к тому, что компоненты потенциала электромагнитного поля в еще большей степени, нежели у векторного поля, содержат в себе «лишние» переменные, ибо имеются четыре компоненты, а состояний, в которых могут находиться реальные фотоны, только два.

Второе отличие делает невозможным применение к электромагнитному полю процедуры, использованной при квантовании векторного поля. Действительно, уже квантование гипотетического векторного поля с исчезающе малой массой, т. е. поля, отличающегося от электромагнитного поля отсутствием градиентного преобразования и потому трехкомпонентного, вызывает значительные затруднения. При подобном квантовании мы получаем бессмысленные выражения, во-первых, при диагонализации энергии-импульса подстановкой (4.22), а во-вторых, при установлении перестановочных соотношений для компонент потенциала (11.25)-(11.27) из-за присутствия исчезающе малой массы в знаменателях указанных выражений.

Поэтому квантование электромагнитного поля видоизменяется следующим образом. Компоненты векторного потенциала считаем независимыми величинами, отказавшись тем самым от условия Лоренца в операторной форме. Тогда по общему рецепту квантования (§ 9), исходя из структуры 4-вектора энергии-импульса, выраженного через продольную, поперечные и временную компоненты

приходим к перестановочным соотношениям

Используя формулы перехода от импульсного к координатному представлению

получаем

где есть обычная отрицательно-частотная перестановочная функция для нулевой массы:

Полный коммутатор компонент имеет следующий вид:

Квантование (2), очевидно, не обеспечивает положительности среднего значения энергии. Мы пока оставим этот вопрос открытым и займемся им позднее вместе с формулировкой дополнительного условия Лоренца.

Квантование (2) позволяет рассматривать операторы как операторы рождения и уничтожения четырех независимых сортов фотонов: двух поперечных, «продольных» и «временных». Однако при таком квантовании возникает следующая трудность. Компонента удовлетворяет соотношению

сравнивая которое с (10.14), видим, что операторы рождения и уничтожения «временных» фотонов как бы поменялись местами, что обязано отрицательному знаку члена в выражении (1).

Такое положение, однако, несовместимо с предположением о вещественности поля или положительности метрики. Действительно, вычисляя для этой формулы вакуумное среднее, получаем с учетом (9.36)

Умножая левую часть на и интегрируя по k и , получаем, с учетом того, что

Производя те же самые операции в правой части, приходим к отрицательному выражению

и, следовательно, к противоречию.