3.4. Комплексное скалярное поле.

Формализм комплексного скалярного поля строится по аналогии с теорией действительного скалярного поля. Отличие заключается в том, что комплексное скалярное поле описывается комплексной функцией

т. е., по существу, двумя независимыми действительными функциями и . Удобнее, однако, использовать в формализме не , а их комбинации:

Лагранжиан комплексного поля запишем в виде, аналогичном лагранжиану действительного поля:

Из этого выражения с помощью формул § 2, считая вариации функций независимыми, получаем уравнения поля:

тензор энергии-импульса

плотность 4-вектора энергии-импульса

и 4-вектор тока

Спиновый момент комплексного скалярного поля, подобно тому как это имело место для действительного скалярного поля, оказывается равным нулю.

Производя разбиение на положительно- и отрицательно-частотные части и переходя к импульсному представлению,

находим после выполнения интеграции по переменной

где аналогично ранее рассмотренному случаю действительного поля введены трехмерные амплитуды

Видно, что обозначения частотных функций в представлении здесь введены таким образом, что, например, означает не комплексно-сопряженную с а положительно-частотную часть . Поэтому правила комплексного сопряжения в импульсном представлении имеют вид

Подставляя разложения (36) и (37) в выражения для плотности энергии-импульса (34) и заряда (35), находим, проинтегрировав по конфигурационному пространству:

Из этих выражений для 4-вектора энергии-импульса и заряда вытекает, что произведение може быть истолковано как плотность среднего числа частиц массы с энергией импульсом к и зарядом —1, а произведение — как плотность среднего числа частиц с энергией импульсом к и зарядом

Соответственно этому после квантования (§ 10) описывает рождение частицы с массой , импульсом и зарядом 1, а — ее уничтожение. Аналогичное соответствие имеет место также для

Таким образом, комплексное скалярное поле описывает положительно и отрицательно заряженные бесспиновые частицы.