§ 42. Уравнение Дирака с радиационными поправками

42.1. Обобщение волновой функции электрона.

Поставим теперь задачу получить уравнение, описывающее движение одного электрона в заданном внешнем электромагнитном поле

В классической теории уравнение для неквантованной спинорной волновой функции электрон-позитронного поля может быть получено с помощью вариационного принципа из полного лагранжиана системы, равного сумме лагранжиана свободного электрон-позитронного поля и лагранжиана взаимодействия поля с внешним полем

Для такого лагранжиана вариационный принцип приводит к известному уравнению Дирака

на основе которого в свое время релятивистская квантовая механика добилась больших успехов в объяснении магнитных свойств электрона, расчете тонкой структуры уровней водородоподобных атомов и т. п.

Однако это уравнение не учитывает таких специфических квантовополевых эффектов, как поляризация вакуума, рождение виртуальных пар и т. п., ввиду чего в квантовой теории поля оно должно быть соответствующим образом обобщено. Чтобы подойти к решению поставленной задачи, рассмотрим получение неквантованной электрон-позитронной функции из квантовой теории поля. Здесь состояние с одним электроном, обладающим определенным импульсом и определенным направлением спина, будет описываться функцией

    (41.25)

Общее одноэлектронное состояние найдется суперпозицией таких «чистых» состояний:

Введем выражение

и заметим, что в силу перестановочных соотношений

Поэтому

Так как, по определению,

то видим, что неквантованный спинор

удовлетворяет уравнению Дирака для свободного поля

Из представления (5) следует далее, что спинор полностью определяет амплитуды , а тем самым и состояние . В частности, когда в этом состоянии электрон обладает определенной энергией , то

и, из (5)

После этих предварительных замечаний перейдем к интересующей нас задаче и обобщим (6) для получения неквантованного спинора, характеризующего электронные состояния для взаимодействующей системы.

Амплитуды состояния здесь, очевидно, следует заменить на . В качестве локального оператора, обобщающего мы, естественно, выберем Для исключения зависимости от g условимся иметь дело только с такими , для которых

Тогда в силу общих результатов § 40 выражение

будет неквантованным спинором, не зависящим от специального выбора функции g, удовлетворяющей условию (8).

Рассмотрим сначала положение, когда внешнее электромагнитное поле отсутствует и, следовательно, имеет место трансляционная инвариантность. Рассмотрим некоторую трансляцию L,

и заметим, что согласно закону преобразования матрицы

и закону преобразования оператора при преобразовании переноса (см. (9.23))

в соответствии с определением (40.35) имеет место соотношение

или

Но для бесконечно малой трансляции

Поэтому в соответствии с (9.24)

Вследствие (8)

и по (40.17)

Отсюда

Следовательно, на основании (40.4) получаем:

и потому

Рассмотрим случай, когда электрон в состоянии обладает определенным 4-вектором энергии-импульса. Тогда

С другой стороны, для вакуумного состояния имеем всегда:

Поэтому

и

Поскольку, кроме того, обладает трансформационными свойствами спинора, мы видим, что

Данное уравнение удовлетворяется в случае, когда в одноэлектронном состоянии имеется определенный 4-вектор энергии-импульса. Так как любое одноэлектронное состояние может быть получено суперпозицией состояний этого типа, мы видим, что уравнение Дирака выполняется и в общем случае.

Перейдем, наконец, к исследованию положения, когда имеется внешнее электромагнитное поле. Если это поле не зависит от времени, у нас остается инвариантность по отношению к временным трансляциям, и потому, повторяя вышеприведенное рассуждение, убеждаемся, что если в рассматриваемом одноэлектронном состоянии имеется определенная энергия Е, то

Таким образом, энергетические уровни для стационарных одноэлектронных состояний должны находиться из решения задачи на собственные значения.