56.2. Переход к фиксированной системе отсчета. Трудности аналитического продолжения.

Как указывалось в § 52, для получения дисперсионных соотношений необходимо установить свойства аналитичности в комплексной плоскости энергетической переменной. Для запаздывающей функции одного аргумента на примере § 52 они были получены непосредственно из свойства, аналогичного (7).

В данном случае мы имеем дело с функциями большого числа независимых аргументов (импульсов различных частиц), причем в отличие от случая, рассмотренного в §§ 53, 54, эти аргументы не сводятся к одному скаляру (типа квадрата 4-импульса ). Это приводит к существенному усложнению задачи.

Чтобы в явной форме выделить отдельные независимые переменные энергии и импульса, фиксируем теперь систему отсчета. Наиболее удобно воспользоваться общепринятой системой, в которой сумма импульсов нуклона до и после рассеяния равна нулю:

(эта система переходит в лабораторную систему при рассеянии вперед, когда ). В такой системе а также в силу закона сохранения энергии . Закон сохранения импульса в свою очередь приводит к соотношениям

Поэтому можно положить:

где — единичный вектор, ортогональный :

Из (23) и (24) вытекает, что

и, следовательно,

т. е. 4-векторный аргумент можно заменить величинами . При этом наряду с X удобно использовать энергию мезона

При фиксированном величины Е и к связаны взаимно однозначным образом.

Таким образом, в системе отсчета (22) интересующие нас величины могут быть представлены с помощью (12) в следующем виде:

В соответствии с (7) интеграл в (26) фактически берется по верхнему световому конусу

Рассмотрим возможность аналитического продолжения выражения (26) на верхнюю половину комплексной плоскости переменной Е. Заметим прежде всего, что для действительных положительных а всегда

Поэтому при добавлении к действительному Е чисто мнимой величины

для каждого значения всегда найдется область таких , что

так что выражение (26) не будет обладать свойствами аналитичности в верхней полуплоскости переменной Е.

Как видно, эта трудность полностью исключает возможность непосредственного аналитического продолжения (26) на область комплексных значений переменной Е. Более того, выражение (26) имеет смысл для действительных Е лишь при так как после перехода через точки ветвления подынтегральное выражение приобретает возрастающий фактор и теряет смысл.

Таким образом, (26) представляет функцию Т лишь на двух отрезках действительной оси

и не может быть непосредственно продолжена за их пределы.

Ясно также, что аналогичные трудности возникнут при попытке аналитического продолжения опережающей функции . Поэтому для аналитического продолжения выражений приходится прибегать к сложным искусственным приемам. Относительно более простой процедурой может считаться продолжение в случае рассеяния вперед, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем.