41.2. Аномальный магнитный момент электрона.

В качестве второй иллюстрации приложения общей теории к конкретным задачам мы вычислим магнитный момент электрона с учетом радиационных поправок.

Для этого необходимо рассмотреть задачу взаимодействия одного электрона с внешним током и определить (с учетом радиационных поправок) энергию, обусловленную этим взаимодействием. Разумеется, будем считать, что внешнее поле (внешний ток) является постоянным во времени, так как только при этом условии электрон будет обладать определенной энергией.

Выше мы рассмотрели вопрос об изменении свойств вакуума при наличии внешнего постоянного тока

теперь же следует выяснить изменение свойств одноэлектронного состояния. Повторяя предыдущие рассуждения, найдем с помощью (40.37), что

где а матричный элемент берется между двумя одноэлектроннымн состояниями

с одинаковой энергией

Учитывая (25), а также раскрывая вариационную производную , получаем: Имея в виду, что магнитному моменту в выражении для энергии Е (J) соответствует член, линейный по внешнему полю (току), можно в правой части уравнения (26) положить

Заметим теперь, что если бы операторы находились под знаком T-произведения, то такое выражение соответствовало бы сумме связных диаграмм различных порядков с одной фотонной и двумя электронными внешними линиями и могло бы быть представлено в виде

Здесь первая электронная функция Грина G соответствует внешней электронной линии , вторая, G — внешней электронной линии — фотонная функция Грина, соответствующая оператору Вершинная часть Г здесь, как обычно, представляет собой сумму сильно связных диаграмм с внешними концами, соответствующими . В силу сделанного выше замечания могут рассматриваться при как обычные функции Грина и вершинная часть, содержащие радиационные поправки.

Однако ввиду того, что операторы а и в выражении (26) не входят под знак T-произведення, оно отличается от (27). Разница состоит в том, что последние «внешние» спаривания в G и в выражении (26) заменены на обычные спаривания вида

т. е.

или

Выражения, стоящие в правой части (28), не могут быть истолкованы непосредственно, поскольку , а функция при имеет полюс. Для раскрытия неопределенности выразим функцию Грина G через оператор собственной

энергии :

При этом мы будем считать, что устранение инфракрасной катастрофы из произведено с помощью введения малой массы фотона (как в § 35.2) и удовлетворяет условию

Получаем тогда

и, следовательно, с учетом сохранения энергии

Подставляя это выражение в (24) и интегрируя по , находим:

Переходя здесь от тока J к внешнему полю с учетом представления

и условия Лоренца для внешнего поля

приводим это выражение к виду

Для определения магнитного момента необходимо выделить из (30) член, пропорциональный напряженности магнитного поля

Рассмотрим сначала в (30) главный член, для которого

Энергия взаимодействия с внешним полем (30) принимает вид

где

Чтобы получить отсюда магнитный момент, следует перейти к нерелятивистскому пределу, При к позитронные компоненты малы по сравнению с электронными компонентами (ср (7.41)) и имеют порядок Обозначая электронные компоненты через v, а позитронные — через т. е.

заметим, что согласно (6.19)

и поскольку в «расщепленном» представлении (7.11)

где — двухрядные спиновые матрицы Паули, то

Принимая теперь во внимание, что из уравнений Дирака вытекают соотношения

и имея в виду, что в пределе малых k

находим:

Подставляя (36) в (31) с учетом того, что из-за чисто магнитного характера внешнего поля и что в соответствии с (7.10)

получаем :

Второй член содержит внешний потенциал и отношения к магнитному моменту не имеет, а первый член соответствует магнитному моменту электрона

    (38)

где — магнетон Бора,

Обратимся к радиационным поправкам. Для вычисления первой поправки к необходимо рассмотреть члены порядка в произведении входящем в формулу (30) Ясно, однако, что поскольку нас интересуют члены, линейные по производным от а разложение около начинается с квадратичных членов, то фактически следует рассмотреть лишь поправку к

Согласно (35.26) выражение

в пределе малых с точностью до членов может быть представлено в виде

Как только что было показано, первое слагаемое приводит к магнетону Бора, а второе дает:

Переходя в этом выражении к нерелятивистскому пределу, воспользуемся тем, что в «расщепленном» представлении (33) четырехрядные матрицы о диагональным образом выражаются через двухрядные матрицы Паули. Получаем в результате

Согласно этому выражению радиационная поправка порядка приводит к дополнительному магнитному моменту электрона, равному

Этот результат был впервые получен Швингером (19496). Соответствующие вычисления были впоследствии проведены в двух- и трехпетлевом приближениях, а в самое последнее время и в четырехпетлевом приближении. Результат может быть представлен в виде

где

Коэффициент вычислен аналитически, для чего потребовалось рассмотреть 5 диаграмм. Трехпетлевому вкладу соответствуют 72 диаграммы, причем вклад 51 из них удалось вычислить точно с помощью использования ЭВМ для аналитических вычислений. Ошибка в (так же, как и в ) связана с приближенным численным расчетом остальных диаграмм (в последнем случае всех 891 четырехпетлевых диаграмм).

Для сравнения теоретического результата (40) с экспериментальным

    (40)

следует использовать численное значение постоянной тонкой структуры. Если взять в качестве такового ее наиболее точное значение, определенное с помощью эффекта Джозефсона

    (42)

то мы получим

    (43)

причем большая часть ошибки связана с ошибкой в значении а.

Как видно, согласие между теоретическим и экспериментальным значениями имеет место на относительном уровне Этот результат является рекордным в физике. Он свидетельствует о поразительной предсказательной силе квантовой электродинамики и о верности основных принципиальных положений, положенных в основу современной квантовой теории поля.