1.3. Функция Лагранжа и принцип стационарного действия.

Уравнения поля и их инварианты получаются непосредственно из функции Лагранжа. Сформулируем поэтому сначала основные требования, которые накладываются на эту функцию. Среди них важное место занимает условие релятивистской инвариантности или условие инвариантности относительно полной неоднородной группы Лоренца. В связи с этим напомним определение группы Лоренца. Как известно, полной группой Лоренца называется группа однородных линейных преобразований координат четырехмерного пространства-времени, которые оставляют инвариантной квадратичную форму, представляющую собой квадрат 4-интервала:

и не меняют направления времени. Указанная группа включает пространственные повороты в трех плоскостях лоренцовы повороты в трех плоскостях отражения пространственных осей и все произведения указанных преобразований. При этом детерминанты преобразований поворотов равны +1, а детерминанты преобразований отражения осей равны —1. Поэтому выделяют собственную группу Лоренца преобразований с детерминантом, равным включающую шесть поворотов и отражения четного числа пространственных осей, сводящихся к поворотам.

Часто оказывается удобным рассматривать полную группу Лоренца вместе с преобразованиями трансляции по всем четырем координатным осям. Совокупность указанных преобразований мы будем называть неоднородной группой Лоренца (полная группа Пуанкаре).

Инвариантность относительно этой группы будем называть релятивистской или лоренцевой инвариантностью.

Наконец, включение операции отражения времени (переход от ортохронной к неортохронной группе) приводит нас к общей группе Лоренца (соответственно общей группе Пуанкаре).

Вернемся к функции Лагранжа. Она является функцией времени и в механике записывается в виде суммы по всем материальным

точкам системы. Эта сумма для непрерывной системы типа волнового поля выражается пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа

Однако в вариационный принцип входит не функция Лагранжа, а действие , получаемое из нее интеграцией по Поэтому нековариантное выражение (2) в лагранжевом формализме фактически оказывается промежуточным, и вполне достаточно рассматривать плотность функции Лагранжа

зависящую от всех четырех пространственно-временных переменных. В дальнейшем будем именовать лагранжианом.

При этом, если лагранжиан зависит лишь от состояния полей в бесконечно малой окрестности , т. е. от значений и конечного числа их частных производных, взятых в точке то он именуется локальным лагранжианом, а соответствующая теория — локальной теорией. Противный случай, когда, например, представляется в виде

соответствует так называемым нелокальным теориям, которые нами не рассматриваются.

Лагранжиан X обычно считают действительной функцией (в квантованном случае — эрмитовым оператором — см. § 21.3) от переменных поля и их первых производных не зависящей явно от координат и обладающей свойством релятивистской инвариантности.

Таким образом, мы можем записать локальный лагранжиан в виде

Интеграл от лагранжиана по некоторому объему пространства-времени

называется действием.

Из вариационного принципа стационарного действия

полагая, что вариации функций поля исчезают на границе 4-объема интеграции, с помощью интеграции по частям получаем уравнения Лагранжа — Эйлера

которые определяют полевые функции , т. е. являются уравнениями полей. В соответствии с упомянутыми свойствами лагранжиана уравнения поля являются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Поскольку физические свойства системы определяются действием, т. е. интегралом (3), то лагранжиан оказывается неоднозначным. К нему можно добавлять полную 4-дивергенцию от некоторого 4-вектора:

Интеграл (3) от с помощью теоремы Гаусса—Остроградского сводится к поверхностному интегралу от по трехмерной границе четырехмерного объема интегрирования.

Указанный произвол в лагранжиане обычно используют, считая некоторой функцией переменных поля

В этом случае, принимая во внимание, что вариации функций поля бы исчезают на границе четырехмерного объема, получаем, что член не дает вклада в вариацию действия, вследствие чего не меняет уравнений движения.