§ 23. Приведение S-матрицы к нормальной форме

23.1. Структура коэффициентов матрицы рассеяния.

Обратимся теперь к разработке удобной рецептуры приведения к нормальной форме Т-произведений лагранжианов, определяющих операторные выражения входящие в матрицу рассеяния. Для большей наглядности удобно начать изложение с какого-либо конкретного случая. Рассмотрим поэтому взаимодействие электромагнитного и спинорного электрон-позитронного полей. Мы будем считать в соответствии с установившейся традицией, что электроны являются основными частицами спинорного поля, а позитроны — античастицами. Поэтому операторы спинорного поля (см. § 13) описывают рождение и уничтожение электронов, а операторы — соответственно позитронов. Разумеется, ввиду полной симметрии нашего изложения можно было бы считать основными частицами позитроны, а электроны — античастицами.

При этом роли операторов поменялись бы местами и нужно было бы лишь изменить знак электрического тока, имеющего в принятой нами обычной форме вид

Здесь — величина электрического заряда электрона, умноженная на и равная

в употребляемой нами натуральной системе единиц

Лагранжиан взаимодействия электромагнитного и электрон-позитронного полей согласно (8.15) имеет вид

Принимая во внимание элементарные хронологические спаривания

    (22.9)

рассмотрим процесс приведения к нормальной форме отдельных членов S-матрицы

    (21.31)

зависящих от лагранжиана (3). Член первого порядка уже записан в нормальной форме:

Во втором порядке получаем:

Ввиду взаимной коммутативности операторов электромагнитного и электрон-позитронного полей входящее сюда T-произведение может быть представлено в виде произведения двух T-произведений:

Первый сомножитель был нами раскрыт в предыдущем параграфе (22.17), а второй раскрывается элементарно с помощью формулы (22.3) и спаривания электромагнитного поля (22.7). Получаем поэтому

В выражениях (4), (5) принят порядок записи матричных операторов, при котором под знаком нормального произведения операторные спиноры f и всегда располагаются по определенному принципу. Согласно (3) в каждый X входит по одному спинору . Под знаком Т-произведения в члене порядка стоит поэтому n операторов и и операторов . В процессе приведения Т-произведения к нормальному виду некоторые пары операторов заменяются соответствующими спариваниями. Таким образом, после приведения отдельных членов Т-произведения к нормальному виду в каждом из членов полученного выражения (например, в членах (5)) остается равное число операторов При этом каждому можно сопоставить определенный проследив цепочку аргументов спариваний

Свободные операторы входящие в нормальные произведения, могут поэтому всегда быть разбиты на пары с совпадающими аргументами (в том случае, если оба оператора из какого-либо не подвергались спариваниям) или с аргументами, связанными цепочкой аргументов соответствующих -функций.

Мы условимся записывать свободные операторы таким образом, чтобы операторы, образующие пары, находились рядом (между ними могут стоять только с-функции), причем чтобы внутри пар всегда стояло слева от , т. е. в виде

Перестановки пар между собой не меняют значения нормального произведения, и потому порядок пар безразличен. Все члены в (4) и (5) были записаны в форме (7). В дальнейшем мы всегда будем придерживаться такого способа записи; это позволит просто вывести правило определения знака перед произвольным членом после раскрытия Т-произведения вида (21.31).

Выражения с той же структурой, что и (5), могут быть без труда получены и для членов высших порядков. Пользуясь теоремой Вика для Т-произведений, можно сразу найти, что коэффициент (с точностью до ) равен сумме нормальных произведений лагранжианов со всеми возможными спариваниями. С помощью этой теоремы можно также сформулировать правила для автоматической записи элементов матрицы рассеяния в нормальной форме, а следовательно, и матричных элементов.