1.4. Трансформационные свойства функций поля.

Тензоры и спиноры. Перед тем как перейти к построению инвариантов полей, рассмотрим трансформационные свойства полевых функций. Другими словами, нам нужно установить законы преобразования полевых функций при преобразовании координат из неоднородной группы Лоренца:

Полевой функцией и называется одна (однокомпонентная полевая функция) или несколько (многокомпонентная полевая функция) функций четырех координат заданных в каждой системе отсчета. Переходу от одной системы отсчета х к другой связанной с х лоренцевым преобразованием (5), сопоставляется однородное линейное преобразование компонент полевой функции

причем матрица преобразования функций А целиком определяется матрицей лоренцева преобразования L. Подчеркнем, что рассматриваемое преобразование (6) не ограничивается заменой аргумента х на описывая преобразования систем отсчета, но не перемещения из одной точки пространства в другую.

Таким образом, каждому лоренцеву преобразованию L соответствует линейное преобразование причем, очевидно, единичному

ному элементу группы L соответствует единичное преобразование а произведению двух элементов группы Лоренца соответвует произведение двух преобразований

Система операторов с такими свойствами в теории групп называется линейным представлением группы. Операторы , очевидно, можно представлять себе в виде матриц, ранг которых определяется числом компонент функции поля . В случае, когда число компонент и конечно, говорят, что группа преобразований Л образует конечномерное представление группы Лоренца, в противном случае мы приходим к бесконечномерному представлению этой группы. Ввиду того, что все основные физические поля обычно описываются функциями с конечным числом компонент, мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением лишь конечномерных представлений группы Лоренца.

Таким образом, мы можем рассматривать преобразования А как операторы, действующие в конечномерном пространстве компонент полевых функций, и изображать их квадратными матрицами конечного ранга.

Иногда оказывается, что пространство компонент функций поля, в котором действует представление , может быть разбито на подпространства, инвариантные относительно всех преобразований данного представления (т. е. на подпространства, которые под действием переходят сами в себя). Такое представление называется приводимым. В противном случае представление является неприводимым. Если процесс выделения инвариантных подпространств в пространстве приводимого представления провести до конца, т. е. разбить это пространство на инвариантные подпространства, которые сами уже не будут содержать таковых, то, очевидно, исходное представление разобьется на неприводимые представления, действующие в «своих» инвариантных подпространствах. Поэтому изучение всякого приводимого представления может быть сведено к изучению неприводимых представлений данной группы. Возможные типы волновых функций и их законы преобразования (6) могут быть получены исследованием конечномерных представлений группы Лоренца.

Подобное исследование составляет особый раздел теории представлений непрерывных групп и вкратце сводится к следующему. Конечномерные представления группн Лоренца могут быть однозначными или двузначными. Это связано с тем, что соответствие не обязательно должно быть однозначным, поскольку функции поля, вообще говоря, не являются непосредственно наблюдаемыми на опыте величинами (наблюдаемыми величинами, однако, всегда являются билинейные комбинации полевых функций). Неоднозначность оператора , соответствующего преобразованию L, должна быть все же такова, чтобы наблюдаемые величины трансформировались

вполне однозначно при любом лоренцевом преобразовании L. Кроме того, необходимо, чтобы операторы были непрерывными функциями параметров преобразования L, т. е. чтобы бесконечно малому преобразованию системы отсчета соответствовало бесконечно малое преобразование функций поля. Совокупность указанных требований приводит к тому, что представления группы Лоренца распадаются на две категории. Первая категория характеризуется однозначностью соответствия и содержит однозначные так называемые тензорные и псевдотензорные представления. Функции поля, преобразующиеся по тензорным представлениям, называются тензорами (псевдотензорами) и в некоторых случаях могут быть наблюдаемы непосредственно (электромагнитное поле). Во втором случае это соответствие оказывается двузначным:

Закон преобразования (псевдо)тензора N-го ранга

при непрерывных преобразованиях координат (преобразования отражения нечетного числа осей рассматриваются ниже отдельно) имеет вид

или, в обозначениях (5),

Двузначные представления называются спинорными, а соответствующие величины — спинорами. Закон преобразования спинорных величин имеет более сложную структуру и для простейших спиноров приведен в § 6. Отметим лишь, что вытекающий из (7) закон преобразования тензорных величин

при преобразовании трансляции

является справедливым также и для спиноров.

Приведем теперь простейшие тензорные представления и соответствующие им величины. Тензор нулевого ранга, при любых непрерывных преобразованиях трансформирующийся по закону

является скаляром или псевдоскаляром.

Тензор первого ранга, преобразующийся при поворотах координат по закону

    (9)

называется контравариантным вектором (псевдовектором). Связанный с ним ковариантный вектор

преобразуется по закону

Могут быть выписаны без труда соответствующие формулы для тензоров различной вариантности второго и более высоких рангов.

Как указывалось ранее, соотношениями типа (7) — (10) устанавливаются законы преобразования тензорных величин лишь при преобразованиях непрерывного типа. Законы их преобразования при отражении нечетного числа пространственных осей этими выражениями не определяются и должны быть сформулированы особо. В силу тождественности двукратного преобразования, вытекающей из однозначности тензорных представлений, эти законы могут иметь лишь две формы:

или

Тензор нулевого ранга, преобразующийся по (12), называется псевдоскаляром. Что же касается тензоров первого ранга, то формула (12) оказывается совместной с (10) и потому псевдовектором (или аксиальным вектором) именуется тензор, преобразующийся согласно (11).

Различие в законах преобразования (11) и (12) имеет на первый взгляд несколько формальный характер. Однако, как мы увидим ниже (§ 8), определяемое этими соотношениями свойство четности играет существенную роль при определении возможных форм взаимодействия различных полей.

Одним из важных постулируемых свойств лагранжиана является его лоренц-инвариантность, т. е. лагранжиан является скаляром. Это означает, что

Поскольку бесконечно малый элемент объема также является инвариантом, мы получаем, что значение действия для любой конечной области пространства времени не меняется при преобразованиях Лоренца, т. е.

Здесь А — некоторая область интегрирования, выраженная в переменных та же самая область, выраженная в переменных Скалярность лагранжиана обеспечивает инвариантность действия.

Условие (13) означает, что лагранжиан зависит лишь от инвариантных комбинаций полевых функций и их первых производных.