30.2. Параметрическое представление.

Соотношение (1) позволяет представить перенормированную коэффициентную функцию диаграммы в виде а-параметрического интеграла типа (29.16), (29.24). Ограничимся случаем нулевой конечной перенормировки, т. е. случаем, когда в (1) все

Рассмотрим сначала некоторую скалярную диаграмму, которая обладает неотрицательным индексом со (G), но не содержит расходящихся обобщенных блоков, не совпадающих с самой диаграммой. Ясно, что в этой ситуации предел интеграла (29.24) при стремлении регуляризирующих масс к бесконечности не существует из-за особенности фактора при . В соответствии с (2) вместо нужно рассматривать функцию Имеем:

Вспомним теперь, что каждое слагаемое формы D (а) включает ровно параметров т. е.

Аналогично,

Поэтому

Таким образом, последний множитель в подынтегральном выражении (7) есть не что иное, как остаточный член (при ) тейлоровского разложения в окрестности точки левой части (8). Учитывая это, запишем

где , а действие на функцию определено равенством

Теперь видно, что для правильной записи а-параметрического интеграла для нужно в подынтегральном выражении (29.24) заменить все (кроме входящих в на все массы , на домножить подынтегральное выражение на и подействовать на него оператором последнем множителе правой части (9) замены масс в точности компенсируют замены параметров и его можно было бы вынести из-под оператора Мы ввели здесь тем не менее эти замены в видах удобства последующего обобщения на случай диаграмм, содержащих спинорные линии.

Вспоминая соотношение (2), заключаем, что для произвольной скалярной диаграммы без частично перекрывающихся расходимостей перенормированное выражение получится в результате последовательного применения таких процедур ко всем расходящимся обобщенным блокам, поскольку ее можно построить из диаграмм типа (9), а возникающие при этом интеграции по внутренним импульсам никак не затрагивают параметров Более того, оказывается, что то же самое правило справедливо и для диаграмм с перекрывающимися расходимостями, так как «лишние» слагаемые, отличающие обычное произведение типа (2) от «трехточечного» произведения, автоматически обращаются в нуль в а-параметрическом интеграле. Прежде чем написать соответствующую общую формулу, представим оператор в интегральном виде:

Подведем итог: коэффициентная функция произвольной перенормированной скалярной диаграммы, содержащей расходящиеся обобщенные блоки , с индексами со соответственно, имеет вид

Здесь если линия не входит ни в один расходящийся обобщенный блок если линия входит в расходящиеся обобщенные блоки Аналогично если линия I не входит ни в один если 1-я линия входит в

Формы Q и D строятся (теперь уже из параметров а не по тем же правилам (29.22) и (29.23), что и раньше.

Точно таким же образом пишется параметрическое представление для диаграмм, содержащих спинорные линии. Для этого в подынтегральном выражении неперенормированной амплитуды (29.16)

следует заменить по сформулированным выше правилам все параметры (кроме входящих в ) на все массы на ввести множители и подействовать на подынтегральное выражение должным числом операторов заданных соотношением (11). Нетрудно также модифицировать представление (12) таким образом, чтобы оно отвечало ненулевым точкам вычитания по внешним импульсам расходящихся обобщенных узлов (см. Завьялов (1975)).

В выражении (12) можно уже непосредственно перейти к пределу при фиксированном При этом после выполнения дифференцирований в подынтегральной функции будет представлен конечной суммой абсолютно сходящихся интегралов по параметрам а и к.

Здесь необходимо подчеркнуть наличие произвола в выборе операции . В самом деле, согласно (29) операция сводится к вычитанию из f полинома Маклорена степени, равной степени роста, что оказывается достаточным для устранения бесконечностей. Совершенно очевидно, что если, например, определить операцию вычитанием из полинома Маклорена степени , то мы также пришли бы к выражениям, не содержащим расходимостей. Можно показать, что произвол, связанный с выбором фактически сводится к изменению лагранжиана. Выбранные здесь минимальные значения приводят к контрчленам, наименее отличающимся по своей операторной структуре от членов полного лагранжиана. Этот выбор, однако, не является обязательным.