43.4. Континуальный интеграл по ферми-полям.

Перейдем теперь к случаю ферми-полей. Поступая по аналогии с предыдущим, рассмотрим вакуумное среднее от экспоненциального линейного функционала

Здесь — квантованные фермионные поля, хронологические спаривания которых в импульсном представлении имеют вид

а — «классические антикоммутирующие поля» (которые могут рассматриваться как образующие грассмановой алгебры, см. § 37.2), удовлетворяющие коммутационным соотношениям (37.15).

Вычисление вакуумного среднего может быть проведено тем же методом, что и вычисление аналогичной величины (2) для бозе-случая. Результат имеет вид

Для перехода от (24) к функциональному интегралу, кроме введения решетчатого импульсного пространства

следует непротиворечиво определить правила интегрирования в пространстве комплексных антикоммутирующих величин (в пространстве образующих грассмановой алгебры с инволюцией). Такое пространство состоит из двух наборов

величин, удовлетворяющих перестановочным соотношениям грассмановой алгебры

Пока нам не потребуется операция комплексного сопряжения, можно рассматривать как совершенно независимые величины. В силу соотношений (26) квадрат любого из образующих равен нулю

Поэтому, в частности, произвольная функция от образующих (25) представима в виде конечного полинома

Введем символы инфинитезимальных приращений

к образующим (25) и подчиним их соотношениям антикоммутации.

Определим однократные определенные интегралы

Несколько неожиданные определения (30) являются единственно совместными с (28). В то же время интегралы (31) естественно было бы выразить через квадрат объема интегрирования. Однако, как мы уже убедились в § 43.3, этот (бесконечный) объем из окончательных результатов выпадает. Этим и объясняется выбор нормировки в (31).

Принятое определение приводит к тому, что интеграл от функции (27) оказывается равным

Таким образом, операция интегрирования оказывается эквивалентной операции дифференцирования.

Для интегралов по антикоммутирующим полям можно ввести формулы линейной замены переменных. При этом ввиду соглашения (31) переменные и дифференциалы преобразуются взаимно обратными матрицами:

При такой замене

и

а также

Приведем еще формулу интегрирования «квазигауссовой» экспоненты

и экспоненты с линейными членами

Формула (35) доказывается путем использования линейной подстановки диагонализующей показатель экспоненты, а формула (36) — аддитивным преобразованием переменных интегрирования

Формула (36), подобная формуле (13) для бозе-случая, является основой для введения функционального интеграла по ферми-полям. Полагая формально

получаем из (36) в пределе

Здесь символы пропорциональны пределам произведений

Сравнивая между собой формулы (37), (24), получаем соотношение

аналогичное (15). Здесь по определению

где

— действие свободного спинорного поля.

Формула (38) может рассматриваться как определение континуального интеграла по ферми-полям. Соотношение (38) говорит нам, что процедуру усреднения операторного выражения по фермионному вакууму можно представить в виде континуального интеграла, т. е. операцию вакуумного усреднения представить в виде функционального усреднения