55.4. Некоторые следствия.

Из представлений типа (10) для фурье-образа матричного элемента коммутатора токов можно получить соответствующие представления для фурье-образов матричных элементов запаздывающего, опережающего и т. д. произведений токов. Такие представления оказываются полезными для ряда приложений.

Рассмотрим матричный элемент «запаздывающего коммутатора»

Разумеется, операция умножения матричного элемента (1) на , как всегда, не является однозначной. Она, однако, может быть определена с точностью до конечной линейной комбинации и ее производных (см. §§ 53, 54). В импульсном представлении (формула (36) и далее) этому соответствует полиномиальный произвол. Соответствующие коэффициенты могут зависеть

. Вычисляя явно с помощью (1), (2), (10) фурье-образ

находим

Аналогичным образом вычисляется фурье-образ матричного элемента «опережающего коммутатора». Его выражение может быть получено из (36) заменой . В симметричном случае (36) переходит в

где область интегрирования 50 совпадает с областью интегрирования в представлении Йоста — Лемана (9) и определяется неравенствами (33).

Интегральные представления для матричного элемента обычного произведения токов

и «причинного» матричного элемента

могут быть получены простым образом лишь при выполнении некоторых условий. Так, если в симметричном случае

то содержит только положительные частоты, т. е.

Поэтому, представляя в виде

с помощью (9) получаем

Используя связь (39), находим из (41) и (37)

Отметим, что полученные здесь интегральные представления являются непосредственными обобщениями интегральных представлений для вакуумных матричных элементов, рассмотренных в §§ 53, 54, и переходят в них в соответствующем предельном случае. Так, например, полагая в (1)

получаем вакуумное ожидание от коммутатора псевдоскалярных токов (симметричный случай). В этом случае и в соответствии с (33) область интегрирования в представлении Йоста — Лемана имеет вид

Полагая

получаем из (9)

что, с учетом (2), в точности соответствует спектральному представлению (53.30) для вакуумного ожидания коммутатора токов.