ГЛАВА V. УСТРАНЕНИЕ РАСХОДИМОСТЕЙ ИЗ S-МАТРИЦЫ

§ 27. О расходимостях S-матрицы в электродинамике (второй порядок)

На примерах комптоновского рассеяния, аннигиляции позитронов и тормозного излучения мы подробно ознакомились с типами матричных элементов, соответствующих одной из диаграмм второго порядка.

Интеграции соответствующих матричных элементов выполнялись тривиальным образом с помощью вершинных -функций (24.8), и основной труд заключался в вычислении шпуров. При наличии на диаграмме внутренних линий, соответствующих виртуальным частицам, число вершинных S-функций, вообще говоря, оказывается недостаточным для свертывания всех интегралов.

Рис. 17. Расходящиеся диаграммы второго порядка в электродинамике.

Необходимым условием этого является наличие в диаграмме замкнутых петель. В этом случае функция , определенная в (24.35), представляется в виде кратного интеграла по 4-импульсам виртуальных частиц. При этом оказывается, что такие интегралы могут расходиться в области больших значений виртуальных импульсов.

Расходятся, например, матричные элементы комптоновского рассеяния и аннигиляции пар в высших порядках по и выше). Расходятся также матричные элементы второго порядка, соответствующие диаграммам, изображенным на рис. 17.

Эти диаграммы соответствуют виртуальным процессам, являющимся простейшими проявлениями феномена квантовых вакуумных флуктуаций, о которых упоминалось в § 20.1.

27.1. Расходящаяся диаграмма с двумя внешними электронными линиями.

Представим член матрицы рассеяния, соответствующий диаграмме рис. 17, а, в виде

где

Множитель —i выделен здесь для удобства дальнейших выкладок. При такой нормировке оператор 2 в импульсном представлении оказывается действительным при (см. § 35.2) и в сумме с массой электрона образует оператор массы в уравнениях Дайсона для функций Грина (см. § 38.4).

Нетрудно показать простым вычислением, что фурье-образ оператора

входит в матричный элемент -матрицы через комбинацию

где — спинорные амплитуды, соответствующие функциям поля . Сходимость матричного элемента F поэтому полностью определяется сходимостью функции . Вспоминая, что в импульсном представлении причинные функции имеют вид (ср. (24.3) и )

находим для :

При больших интегрируемая функция убывает как и потому интеграл этот, вообще говоря, расходится. Мы видим, таким образом, что принятые чисто формальные правила обращения с произведениями причинных функций в данном случае приводят к бессмысленному результату.

По существу, здесь проявилось то обстоятельство, что мы не определили произведение сингулярных функций как интегрируемую сингулярную функцию. Чтобы решить задачу определения коэффициентов хронологического произведения

как интегрируемых несобственных функций, воспользуемся, подобно тому как это было сделано в § 18, методом предельного перехода. Для этого рассмотрим сначала вспомогательный фиктивный случай, когда операторные функции поля удовлетворяют перестановочным соотношениям, в которых причинные функции заменены на

В выражение для вместо (3) должны быть подставлены функции

При этом оказывается, что для регуляризации достаточно одной вспомогательной массы М. Полагая

имеем:

Видно, что убывает как — как и поэтому интеграл в выражении для

при больших значениях сходится как

Исследуем теперь поведение при в процессе снятия регуляризации. Удобно провести это рассмотрение, вычислив в явном виде.

Для вычисления интеграла (5) используем следующий вспомогательный прием. Представим сомножители в знаменателе (5) в виде

Эту формулу будем называть формулой перехода в альфа-представление. После этого перехода интегрирование по k в (5) сведется к взятию интегралов типа Гаусса.

Основной четырехмерный интеграл гауссова типа имеет вид

Формулу (7) можно получить, исходя из рассмотрения типичного интеграла

который будем всегда считать пределом выражения 00

Для его вычисления произведем замену переменной

сводящуюся к повороту системы координат на и сдвигу начала координат. Тогда в пределе получим:

Значение этого интеграла при может быть получено операцией комплексного сопряжения. Имеем поэтому:

Теперь можно приступить к вычислению необходимых четырехмерных интегралов типа

где

С помощью полученных формул непосредственно приходим к (7):

Остальные необходимые интегралы этого типа могут быть получены из (7) путем повторного дифференцирования по компонентам b. Так, например,

Вернемся к вычислению интеграла (5). Подставляя в него интегральные представления сингулярных функций типа (6)

выполняя с помощью (7) и (8) интеграцию по получаем, имея в виду, что

следующее выражение для :

Переходя к новым переменным

с учетом якобиана

находим:

где

Вычисление интегралов такого типа можно проводить с помощью формулы

Ввиду того что сходимость интеграла на верхнем пределе обеспечивается множителем при выполнении предельного перехода следует соблюдать известную осторожность.

Наличие бесконечно малого мнимого добавка под знаком логарифма делает его комплексным при

В дальнейшем мы не будем явно выписывать члены под знаком логарифмов и будем считать, что (в соответствии с определением причинной -функции) квадраты масс и т. д. содержат бесконечно малые отрицательные мнимые добавки.

Для получаем в пределе