55.2. Общая форма представления.

Поставим задачу построения интегрального представления для всех «причинных» функций .

Для этого расширим четырехмерные и -пространства до шестимерных X- и -пространств

где

Таким образом, например,

Дополнительные компоненты будем считать пространственно-подобными в 6-мерном пространстве, так что

Введем функцию F в 6-мерном конфигурационном представлении

В силу условия (11) операция умножения f на оказывается определенной и функция F однозначно определяет функцию . В самом деле,

Вычисляя шестимерный фурье-образ от (12), находим

Здесь символом q обозначен специальный 6-вектор — четная инвариантная функция

удовлетворяющая -мерному волновому уравнению

Из (14) (см. также (12)) вытекает, что F (Q) также удовлетворяет -мерному волновому уравнению

Отметим еще, что согласно (2), (13) и (14)

т. е. F (Q) является продолжением функции на большее число измерений.

Воспользуемся теперь известным свойством решения волнового уравнения, согласно которому это решение может быть выражено через свои (начальные) значения и значения своих производных на заданной пространственно-подобной поверхности (обобщение интегральной формулы Кирхгофа). Эта формула содержит нечетное решение однородного волнового уравнения, являющееся -мерным аналогом функции Паули—Йордана (10.18). В рассматриваемом случае эта функция есть

Обобщенная интегральная формула Кирхгофа может теперь быть записана в виде (см. § 31 в книге Владимирова (1964))

Здесь — произвольная пространственно-подобная поверхность в -мерном пространстве, которая может быть задана уравнением

— элемент площади поверхности , а оператор есть конормальная производная на , определяемая соотношением

Правую часть (18) можно интерпретировать как свертку обобщенных функций D, F и их производных. Если ввести обобщенные функции (слои)

связанные с пространственно-подобной поверхностью 2 и действующие по правилам:

то (18) можно записать в виде

На основании (16) формулы (18), (21) при дают искомое интегральное представление . Выберем теперь пространственноподобную поверхность в специальном виде, когда уравнение поверхности (19) не зависит от координат . Тогда соответствующие производные выпадают из (20), вследствие чего интегрирование факторизуется:

где — конормальная производная к поверхности в 4-мерном пространстве:

и мы получаем

При переходе от (21) к (22) мы использовали явный вид (17) функции D и произвели замену обозначений переменных интегрирования

Отметим, что согласно (14) и (15) функция формально представима в виде «интеграла»

Рассматривая интегралы в правой части (22) как свертки обобщенных функций, можно выполнить интегрирование по частям по и привести (22) к виду (10). При этом

Если еще более специализировать уравнение поверхности в виде

то мы получим вместо (22)

Выполняя здесь интегрирования по частям по получим представление (9), причем

Получение общего вида интегральных представлений на этом закончено. Отметим, что представления (10) не обладают свойством однозначности (хотя бы за счет различного выбора поверхности 2). Однако представление (9) таким свойством обладает, т. е. связи между причинной функцией и весовыми функциями являются взаимно однозначными. Читателя, интересующегося соответствующим доказательством, мы отсылаем к оригинальной работе Йоста — Лемана (1957).