§ 3. Скалярное поле

Перейдем к изучению различных конкретных волновых полей, к которым применим развитый выше общий формализм. В главе I будут рассмотрены следующие важнейшие свободные волновые поля:

а) скалярное (псевдоскалярное) поле, соответствующее бесспиновым частицам (например, псевдоскалярным -мезонам);

б) векторное поле;

в) электромагнитное поле;

г) простейшее спинорное поле со спином 1/2, соответствующее заряженным лептонам барионам, а также кваркам;

д) безмассовое спинорное поле, соответствующее нейтрино.

Подчеркнем, что неправильно было бы сказать, что свободные поля «описывают» соответствующие частицы, так как полное описание элементарных частиц со всеми их физическими характеристиками (например, магнитными моментами) может дать лишь теория взаимодействующих полей. Правильнее поэтому сказать, что отдельные свободные поля соответствуют различным частицам, представляя собой основу для описания этих частиц в рамках теории взаимодействующих полей.

Как указывалось в § 2, обычно предполагается, что лагранжиан зависит лишь от функций поля и их частных производных не выше первого порядка. Это приводит к тому, что соответствующие уравнения поля оказываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Важное свойство лагранжианов свободных полей вытекает из требования линейности и однородности уравнений свободных полей. К таким уравнениям приводят лишь лагранжианы, квадратичные по функциям поля и их производным.

Этими условиями в совокупности с соображениями релятивистской инвариантности и трансформационными свойствами функций поля лагранжиан фактически оказывается определенным с точностью до коэффициентов.

Приступая к рассмотрению простейшего из волновых полей — скалярного поля, мы остановимся на двух вариантах:

а) действительном (псевдо) скалярном поле, описывающем нейтральные бесспиновые мезоны, и

б) комплексном (псевдо) скалярном поле, описывающем заряженные бесспиновые мезоны.

3.1. Лагранжев формализм действительного скалярного поля.

Наиболее простое волновое поле описывается однокомпонентной действительной волновой функцией трансформирующейся при преобразованиях Лоренца как скаляр или псевдоскаляр. В предыдущем параграфе уже отмечалось, что различие между скаляром и псевдоскаляром заключается в законе преобразования при отражении нечетного числа координатных осей и проявляется лишь в форме возможного закона взаимодействия (точнее, в форме лагранжиана взаимодействия) с другими полями. Поэтому в теории свободных полей мы не будем делать различия между скалярами и псевдоскалярами, векторами и псевдовекторами и т. д., рассматривая их одновременно.

Рассмотрим действительное скалярное поле, описывающее нейтральные бесспиновые частицы — нейтральные (псевдо) скалярные мезоны со спином нуль.

Лагранжиан этого поля

определен сформулированными выше условиями с точностью до коэффициентов, которые выбираются таким образом, чтобы формулы (1.4) приводили к уравнению Клейна — Гордона

являющемуся, очевидно, единственным инвариантным уравнением второго порядка для скалярного поля. Здесь — оператор Даламбера,

Подставляя лагранжиан (1) в (2.9), получаем тензор энергии-импульса действительного скалярного поля в виде

Отсюда находим плотность энергии

и плотность вектора импульса

С помощью (2.12) приходим к выражению для тензора момента количества движения

Полагая здесь имеем для пространственной плотности сохраняющегося во времени тензора момента:

Спиновый момент скалярного поля равен нулю из-за его одно-компонентности. Ввиду действительности поля равен нулю также 4-вектор тока.