19.3. Умножение операторных функций.

Перейдем к рассмотрению операторных выражений, представляемых конечными суммами вида (17.1). Отметим, прежде всего, что наличие предельных соотношений (3) позволяет устранить одно возможное возражение против изложенного выше доказательства теоремы Вика, основанное на том, что в процессе этого доказательства производилось перемножение сингулярных функций. Доказательство теоремы Вика, вполне свободное от такого недостатка, весьма просто проводится, например, по следующей схеме. Рассматриваем сперва фиктивный случай, когда полевые функции удовлетворяют перестановочным соотношениям, в которых заменены на и приводим для него доказательство теоремы Вика точно в той форме, в какой оно излагалось выше. Ввиду непрерывности регуляризованных функций такое доказательство будет вполне строгим. Для перевода к реальному случаю достаточно выполнить предельный переход снимающий регуляризацию.

Таким же образом, с помощью более общих предельных соотношений (15) нетрудно обосновать законность перемножения двух

интегрируемых операторных функций

с независимыми аргументами.

Интегрируемыми мы называем операторные выражения, представляемые конечными суммами типа (17.1), в которых все коэффициентные функции удовлетворяют требованию интегрируемости.

Для установления того, что произведение (17) является интегрируемой операторной функцией аргументов вновь рассмотрим фиктивный случай регуляризованных перестановочных соотношений и, кроме того, заменим все коэффициентные функции К, Q операторов некоторыми непрерывными функциями . обеспечив лишь несобственные предельные соотношения

Тогда приводя произведение регуляризованных таким образом операторных функций к нормальной форме, получим коэффициентные функции вида

которые в силу (15) образуют (при ) последовательность, сходящуюся в несобственном смысле. Мы можем поэтому перейти здесь к пределу, снимающему регуляризацию, и определить коэффициентные функции произведения (17) как интегрируемые сингулярные функции. Доказанная теорема, что произведение двух (а следовательно, и любого числа) интегрируемых операторных функций с независимыми аргументами является также интегрируемой операторной функцией, окажется весьма полезной.

Рассмотрим теперь некоторую интегрируемую операторную функцию и возьмем интеграл

в котором будет произвольной функцией из класса . Построим характеризующие этот операторный интеграл матричные элементы

по всевозможным состояниям

соответствующим наличию данных сортов частиц с данными импульсами. На основании (17.9) найдем для них следующее выражение:

где, как об этом уже говорилось ранее, Р и Z являются полиномами из компонент . Укажем также, что -функции во второй сумме учитывают возможность совпадения импульсов для частиц одного и того же сорта. Второй суммы, следовательно, не будет, если матричный элемент берется по состояниям с различными импульсами одинаковых частиц; в этом случае

Так как функция F принадлежит к классу , то к этому же принадлежит и функция

Поэтому на основании интегрируемости коэффициентных функций К интегралы

оказываются конечными. Более того, поскольку дифференцирование их по соответствует умножению F на компоненты а умножение F на любой полином из этих компонент не выводит ее из класса , то интегралы (20) являются непрерывными функциями импульсов обладающими непрерывными частными производными любого порядка.

Итак, мы видим, что рассматриваемые матричные элементы (19) являются линейными комбинациями членов типа

в которых непрерывны со всеми своими частными производными по . В частности, в области неодинаковых импульсов одинаковых частиц этими свойствами «гладкости» будут обладать и сами матричные элементы. Операторные интегралы (18) могут поэтому считаться сходящимися.

В том же смысле сходящимися будут и интегралы типа

с одной «невыполненной интеграцией».

Действительно, в данном случае единственное отличие будет состоять в том, что вместо интегралов (20) в матричных элементах появятся интегралы

которые благодаря трансляционной инвариантности коэффициентных функций элементарно приводятся к виду (20).

В самом деле, в силу этого свойства иилеем:

Умножим обе части полученного равенства на какую-либо функцию из класса , для которой

и проинтегрируем по . Найдем:

Выполним замену переменных

Тогда

и мы получим:

где

что и приводит интегралы (22) к типу (20).

Показав сходимость операторных интегралов вида (18) и (21), отметим все же, что благодаря нашему условию интегрируемости класс операторных интегралов с гарантированной сходимостью оказывается несколько узким. Так, в этот класс не входят интегралы

взятые по всему бесконечному пространству точек поскольку они соответствуют функции не убывающей на бесконечности.

Матричные элементы операторных интегралов данного вида нуждаются в специальном определении посредством предельного перехода, исходя из соответствующей последовательности функций класса , которая приближается к 1 в расширяющейся области, охватывающей в пределе все пространство интеграции.