§ 46. Исследование модели Блоха — Нордсика

46.1. Модель Блоха — Нордсика и определение ...

И этом параграфе мы рассмотрим применение метода функционального усреднения к расчету модели Блоха — Нордсика в спинорной

электродинамике. Как известно, Блох и Нордсик (1937) для устранения инфракрасной катастрофы разработали метод приближенного решения задачи взаимодействия фермиона с электромагнитным полем в области малых частот, не основанный на теории возмущений. Первое приближение их метода эквивалентно замене матриц Дирака постоянными числами и. Уравнения электродинамики, в которых произведена такая замена, мы будем называть уравнениями модели Блоха — Нордсика.

Рис. 62.

Рассматриваемая задача, помимо ее значения для анализа инфракрасной катастрофы, представляет интерес и в методическом отношении, так как в указанной модели функциональные интеграции могут быть проведены до конца без каких-либо пренебрежений, что позволяет проследить во всех подробностях процедуру определения замкнутых выражений для функций Грина, и удаления из них бесконечностей. При этом, как и ранее, мы будем использовать на промежуточных этапах вспомогательную регуляризацию Паули — Вилларса.

Характерной чертой модели Блоха — Нордсика является отсутствие в ней поляризации вакуума:

т. е. эффектов, связанных с собственной энергией фотонов, что непосредственно вытекает и из следующих простых соображений. Функция Грина свободного электрона определяется в данном случае из уравнения первого порядка

    (2)

причем

и имеет в импульсном представлении не два полюса, как в обычной электродинамике, а один:

В соответствии с этим

т. е. G является чисто запаздывающей. Поэтому в матричном элементе, соответствующем замкнутому электронному циклу (например, в диаграммах, изображенных на рис. 62), по крайней мере одна из функций будет всегда равна нулю. Физически это соответствует тому, что в модели Блоха — Нордсика нет античастиц и, следовательно, не могут рождаться пары.

Таким образом, в этой модели отсутствуют радиационные поправки к фотонной функции Грина и определению подлежит лишь электронная функция Грина которая определяется согласно (44.20) функциональным усреднением электронной функции Грина в заданном внешнем поле .

Эта последняя в рассматриваемом случае удовлетворяет уравнению

которое может быть решено в квадратурах. Мы воспользуемся для этого методом пятого параметра Фока (1937). Этот метод основан на символическом представлении обратного оператора в виде экспоненциального интеграла по пятому параметру:

С помощью этого представления, положив

можем записать решение уравнения (4) в виде

где функция U (v), символически определенная соотношением

удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению первого порядка по пяти переменным:

с начальным условием

Переходя к импульсному представлению для -функции

будем искать в виде

При этом функция К определяется уравнением

с начальным условием

Уравнение (13) является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Решая его с помощью преобразования Фурье, находим:

и, следовательно, с учетом (7), (12)

Формула (15) представляет собой замкнутое явное выражение для функции Грина электрона в заданном внешнем поле для модели Блоха — Нордсика. Получив ее, мы можем приступить к определению полной электронной функции Грина.