§ 35. Спинорная электродинамика.

III. Радиационные поправки второго порядка

Займемся теперь применением полученных результатов к вычислению радиационных поправок низшего порядка в эффектах спинорной электродинамики. С этой целью получим сперва выражения для поправок к факторам распространения фотона D, электрона G и для вершинной функции Г.

Рис. 43 Диаграммы, соответствующие основному члену в и однопетлевой поправке.

35.1. Поправки к фотонной функции.

Фотонная функция Грина D в нулевом приближении, отвечающем отсутствию взаимодействия, в случае произвольного имеет вид

Для вычисления радиационной поправки следует прибавить член, соответствующий фотонной линии и содержащий вставку собственной энергии фотона второго порядка (рис. 43). Этот член имеет вид

Используя для поляризационного оператора П градиентно-инвариантное выражение (27.30) и определяя постоянную в нем из

условия обращения в нуль частных производных второго порядка с точке , находим

    (3)

где

Подставляя (3) в (2) и складывая с (1), получаем:

где

Из вытекает, как и следовало ожидать, что, с одной стороны, продольная функция не влияет на радиационные поправки к поперечной функции , а с другой — радиационные поправки не дают вклада в Поэтому мы ограничимся рассмотрением чисто поперечной части фотонной функции Грина, записав ее в виде

Входящий в определение интеграл I заменой переменных и интеграцией по частям может быть преобразован к виду

При знаменатель интеграла (8) имеет нули, что приводит на первый взгляд к неинтегрируемой особенности. Вспоминаем, однако, что в подобных случаях необходимо считать массу электрона имеющей бесконечно малую мнимую добавку , так что указанные особенности оказываются интегрируемыми.

Производя в (8) еще одну замену переменных: с учетом указанной мнимой добавки получаем:

Подставляя (9) в (6) и (7), приходим к известному параметрическому представлению фотонной функции Грина:

— так называемому спектральному представлению Челлепа (1952)- Лемана (1954) (подробнее см. ниже, § 53). Ядро спектрального представления, в нашем случае вычисленное во втором порядке теории возмущений, имеет вид

Интеграл (9) может быть вычислен. Для этого его удобно представить в виде

Введенная здесь величина

при x < 1 не содержит особенностей под знаком интеграла:

При х > 1 подынтегральное выражение содержит полюс, правила обхода которого определяются бесконечно малой добавкой — Используя символическую формулу (П2А.7) из Приложения 2, получаем:

Объединяя две последние формулы, с учетом соотношения

получим

При малых имеем отсюда

Сравнивая этот результат с (6), приходим к важному свойству радиационной поправки и функции d (которое является следствием

условия (34.52))

— она обращается в нуль в пределе

В области больших получаем соответственно

что

Отметим здесь, что в следующем, четвертом порядке теории возмущений вклад в фотонный оператор дают три диаграммы, изображенные на рис. 44. Диаграмма рис. 44, а представляет собой итерацию однопетлевой диаграммы второго порядка рис. 43, а ее вклад в поперечную функцию d — в точности квадрат вклада упомянутой диаграммы.

Рис. 44. Диаграммы порядка, дающие вклад в фотонный пропагатор.

Остальные диаграммы четвертого порядка 44, б и 44, в являются двухпетлевыми и дают вклад, который обозначим . Таким образом, в четвертом порядке

Явное вычисление последнего слагаемого представляет довольно сложную процедуру, приводящую к громоздкому выражению. Оно приведено в работе Барбьери и Ремидди (1973). Мы дадим лишь предельное значение функции в области больших значений аргумента

где — дзета-функция Римана: