47.2. Групповой характер мультипликативных перенормировок.

Как было установлено в главе V, введение конечных контрчленов в лагранжиан взаимодействия, по своей операторной структуре совпадающих с составляющими лагранжиана, эквивалентно некоторой конечной перенормировке (преобразованию Дайсона) основных функций Грина и констант связи. При этом следует оговориться, что в электродинамике мультипликативному преобразованию подвергается только поперечная часть фотонной функции.

Мы начнем изложение с наиболее простой модели (псевдо) скалярного поля с четверным самодействием

В соответствии с результатами § 36 введение в лагранжиан (2) контрчленов

эквивалентно следующим преобразованиям:

причем

а многоточиями в (4) обозначены надлежащие конфигурационные или импульсные переменные. Таким образом, введение контрчленов (3), сводящихся к перенормировке элементарного хронологического спаривания, элементарной вершины и массы, индуцирует перенормировки (4) полной функции Грина А и 4-вершинной функции Г и, в конечном счете, сводится к перенормировке (5) физических параметров.

Это, в сущности, очень простое свойство может быть также проиллюстрировано следующим рассуждением. Полный лагранжиан

состоящий из суммы выражений (3.1), (2) и (3), может быть представлен в виде

Рассматривая здесь первое слагаемое как свободный лагранжиан, проквантуем его и перейдем в представление взаимодействия. Роль бозонного поля, нормированного перестановочными соотношениями, будет теперь играть и мы придем к теории с новой константой связи h и новой массой .

Подчеркнем, что приведенное рассуждение совершенно не опирается на теорию возмущений.

Если теперь одновременно с введением контрчленов (3) провести перенормировки константы связи и массы, обратные к (5)

    (7)

то в результате мы придем к теории, соответствующей неизменным значениям h и m.

В дальнейшем нам будет удобнее работать с преобразованиями, обратными к (4) и (7)

Функции с различными значениями индекса i отличаются друг от друга не только значениями параметров но и способом

проведения процедуры вычитания, которую мы условно параметризуем одним дополнительным аргументом (конструктивную реализацию этого аргумента, имеющего размерность массы, см. ниже в § 47.3):

Смысл преобразования (8) заключается в том, что набор приводит к тем же самым физическим результатам, что и набор Очевидно, что число таких эквивалентных наборов неограничено. Ясно также, что преобразование (8) обладает групповым свойством. Соответствующую группу назовем группой мультипликативных ренормировочных преобразований, или ренормализационной группой. Наличие преобразований ренормализационной группы может быть установлено для широкого класса моделей квантовой теории поля. Рассмотренный пример является представителем класса перенормируемых моделей с одной безразмерной константой связи.

Физически важными случаями из этого класса являются (с некоторыми техническими оговорками, касающимися выбора калибровки векторных полей и перенормировки масс фермионов — см. ниже § 50) спинорная электродинамика и квантовая хромодинамика. Так, например, для спинорной электродинамики в поперечной калибровке электромагнитного поля основываясь на конечных контрчленах из (34.10), не содержащих перенормировки массы электрона ,

и принимая во внимание тождество Уорда можно получить вместо (8)

причем

Обратимся теперь к модели (36.44) мезон-нуклонного взаимодействия с двумя константами связи g и h. Здесь, как и в только что рассмотренном случае, ограничимся частным видом ренормгрупповых преобразований, не затрагивающих массы частиц. Такая возможность автоматически реализуется в схеме перенормировок путем «импульсных вычитаний», использованной в главе VI. С помощью контрчленов из (36.45), не меняющих масс М и ,

на основе (36.46) и (36.47), приходим к групповым преобразованиям

Соответствующая группа включает связанные между собой преобразования двух констант связи. Такие группы будем называть двухзарядными.

Перенормируемые модели квантовой теории поля обычно содержат безразмерные константы связи. Однако, как можно показать, при формулировке групповых ренормировочных преобразований размерности констант связи не являются существенными.

Групповые преобразования вида (8), (11), (13) позволяют получить для входящих в них функций Грина (мы будем называть их основными) достаточно простые функциональные уравнения, а также соответствующие дифференциальные уравнения (уравнения Ли).