22.2. Теорема Вика для хронологических произведений.

Теорема Вика для хронологических произведений состоит в утверждении, что T-произведение линейных операторов равно сумме их нормальных произведений со всеми возможными хронологическими спариваниями (включая член без спариваний).

Доказательство сводится практически к доказательству теоремы Вика для обычных произведений. В самом деле, согласно определению (1) T-произведение равно некоторому обычному произведению

Применяя к этому произведению теорему Вика, видим, что оно равно сумме нормальных произведений операторов со всеми возможными обычными спариваниями. Но так как порядок следования является хронологически правильным, то обычные спаривания совпадают с хронологическими, т. е. равно умноженной на сумме нормальных произведений операторов со всеми возможными хронологическими спариваниями.

Как уже отмечалось, под знаком хронологического спаривания, как и под знаком нормального произведения, линейные операторы можно переставлять (с учетом изменения знака). Тем самым под знаком нормальных произведений со всевозможными хронологическими спариваниями можно восстановить нормальный порядок сомножителей , опустив одновременно множитель Теорема доказана.

Введем теперь в рассмотрение T-произведение нескольких нормальных произведений линейных операторов поля

Именно такие T-произведения необходимы для раскрытия T-произ-ведений локальных операторов, так как, по определению, локальный оператор представляется линейной комбинацией членов типа

Для T-произведений вида (16) формулировка теоремы Вика имеет лишь ту особенность, что не должны учитываться взаимные хронологические спаривания операторов, входящих в одно и то же нормальное произведение.

В качестве примера приведем к нормальной форме T-произведение двух операторов тока спинорного поля

Используя теорему Вика с учетом равенства нулю спариваний и не учитывая спариваний получаем:

Принимая во внимание, что согласно (9)

и

с учетом суммирования по спинорным индексам получаем окончательно:

Отметим в заключение, что, отправляясь от (16), можно также определить T-произведение нормальных произведений более общего вида

как сумму нормальных произведений операторов

со всеми возможными спариваниями, исключая взаимные спаривания операторов, стоящих в одном и том же нормальном произведении.

Основываясь на таком определении Т-произведения, можно ввести Т-произведение полилокальных операторов

представляя его линейной комбинацией выражений типа (18). Прямое определение Т-произведения (19) по хронологическому признаку в данном случае неудобно из-за множественности аргументов у операторов

Отсюда видно, что, в сущности, Т-произведение представляет собой новую алгебраическую операцию, которая может быть введена и независимо от обычных произведений.

С математической точки зрения Т-произведение особенно привлекательно тем, что в отличие от обычных произведений под знаком Т-произведения можно переставлять операторы так, как если бы они точно коммутировали или антикоммутировали.