§ 28. О расходимостях S-матрицы в электродинамике (третий порядок)

Мы полностью рассмотрели вопрос регуляризации матрицы во втором порядке по е. Нетрудно, однако, убедиться, что совершенно аналогичной процедурой могут быть регуляризованы члены -матрицы более высоких порядков.

Рассмотрим член третьего порядка в матрице рассеяния

Часть расходящихся членов в 53, содержащих расходимости второго порядка, например соответствующих диаграммам, изображенным на рис. 18, компенсируется одновременно с устранением расходимостей из контрчленами второго порядка, т. е. переопределением T-произведения (I) в точках совпадения каких-либо двух аргументов.

Рис. 18.

Рис. 19.

Специфические расходимости третьего порядка могут поэтому содержаться лишь в членах 53, соответствующих диаграммам, изображенным на рис. 19 и 20. Однако члены, соответствующие диаграммам типа рис. 19, а, так же как и члены, соответствующие диаграммам типа рис. 19, б, в сумме всегда аннулируются. Действительно, указанные члены пропорциональны и не содержат факторов, соответствующих свободным электронам и позитронам. Поэтому при преобразовании зарядового сопряжения (13.12) соответствующие матричные элементы изменятся на фактор и ввиду отсутствия реальных электронов и позитронов будут описывать те же самые процессы. Следовательно, они равны нулю.

28.1. Вершинная диаграмма третьего порядка.

Поэтому необходимо рассмотреть лишь член третьего порядка, соответствующий диаграмме, изображенной на рис. 20. Этот член может быть представлен в виде

где введена вершинная функция третьего порядка

Переходя к импульсному представлению

получаем для нее следующее выражение:

Заметим при этом, что выбору импульсных переменных в (3), (4) соответствует диаграмма, на которой входящая электронная линия имеет импульс , фотонная линия — импульс k, выходящая электронная линия — импульс , а в качестве переменной q в (4) взята разность 4-импульсов входящего электрона и виртуального фотона, как это изображено на рис. 21.

Рис. 20. Расходящаяся диаграмма третьего порядка.

Рис. 21. Выбор импульсных обозначений в диаграмме рис. 20.

Интеграл (4) при больших q расходится логарифмически. Для его вычисления воспользуемся принятой процедурой регуляризации (27.11). Подставляя выражения для и в (3), находим после небольших перестроек матриц Дирака

Выполняя интегрирование по q с помощью (27.7), (27.8) и (27.9) и переходя к новым переменным :

получаем после интеграции по А, в пределе больших М

где

и

Отметим, что если регуляризовать интеграл (4) по Фейнману (т. е. введением дополнительного множителя ), то результат будет отличаться от полученного на конечную константу