§ 45. Градиентные преобразования спинориой электродинамики

45.1. Функциональный интеграл в произвольной калибровке.

Процедура введения континуального интеграла наиболее проста в диагональной фейнмановской калибровке электромагнитного потенциала, использованного нами при квантовании в § 12, поскольку в этой калибровке свободный лагранжиан является ковариантной суммой лагранжианов для отдельных компонент

а дифференциальный оператор, стоящий в действии, является обратным к хронологическому спариванию (24.3)

Вследствие (1) функциональный вес факторизуется,

и можно определить операцию функционального интегрирования по 4-компонентному полю как произведение соответствующих операций по каждой из компонент. Такое определение в силу свойства (2) будет совместным с основными формулами типа (43.18), (43.21), которые в данном случае принимают вид

Имеем также вместо (43.19)

Таким образом, например, производящий функционал для связных функций Грина спинорной электродинамики можно записать так:

    (5)

где — полное действие, отвечающее лагранжиану с источниками

причем лагранжиан свободного электромагнитного поля имеет вид (1).

Для того чтобы перейти к произвольной калибровке потенциалов электромагнитного поля, следует воспользоваться градиентным преобразованием, рассмотренным в § 34.1.

Положим

причем в правой части стоят потенциалы в диагональной калибровке. Хронологическое спаривание операторов будет равно

где

В то же время

и, следовательно,

Поэтому преобразованный лагранжиан будет равен

Соответственно в конфигурационном представлении

Первое слагаемое в правой части равно калибровочно-инвариантному сингулярному лагранжиану (5.13). Второй член, содержащий фиксирует калибровку. Полагая возвращаемся к диагональному выражению (1).

Нетрудно проверить, что ядро оператора является обратным к хронологическому спариванию (34.5). Поэтому переход к произвольной калибровке в основной формуле (3) может быть произведен путем замены в правой части лагранжиана на :

Формула (13) дает нам функциональный интеграл по электромагнитным полям в произвольной калибровке. Вводя обозначение

запишем

Соответственно переход к произвольной калибровке в производящем функционале (5) достигается путем замены действия

отвечающего лагранжиану (6), на действие

в котором

Таким образом,

Используя (43.39) и (14), можем представить также в виде

Подставляя (20) в формулу (37.27) и используя далее редукционную формулу (38.26), получим выражение для матричного элемента S-матрицы в виде вариационной производной от соответствующим образом спроектированной на импульсное пространство. Формулы дифференцирования и проектирования имеют следующую структуру:

Электрону в начальном состоянии с импульсом соответствует операция

позитрону в конечном состоянии с импульсом соответствует

Электрону в конечном (позитрону в начальном) состоянии с импульсом соответствует

Наконец фотону в начальном (конечном) состоянии с импульсом k и поляризацией соответствует оператор