31.3. Аналитические свойства функций Hn.

Считая переменные комплексными, представим их в виде

где v и Г — действительные 4-векторы. Тогда вместо (4) можно, очевидно, писать:

где

Теперь видно, что если в качестве выбрать чисто временной 4-вектор, направленный в будущее:

то при функция g будет экспоненциально стремиться к нулю и ввиду того, что интеграция производится по области интеграл (4) окажется сходящимся, а функция — регулярной для Очевидно, то же будет справедливым, если в качестве взять времениподобный 4-вектор, направленный в будущее. При этом функция для вещественных значений может рассматриваться как несобственный предел регулярной функции при Иными словами, функция оказывается аналитической в области

где — действительный 4-вектор, — действительный положительный параметр, времениподобный 4-вектор, направленный в будущее.

Покажем сейчас, что при выполнении условия (1) коэффициентные функции операторов также будут аналитическими и совпадающими с коэффициентными функциями . В § 30 была доказана регулярность функций в области, ограниченной условием (1). Поэтому достаточно показать, что произведения (3) не будут давать вклада в в этой области. Соответствующие коэффициентные функции имеют вид

Из условий следует, что

с другой стороны, мы имеем

поэтому одно из двух требований:

всегда окажется невыполненным, вклад от (3) действительно будет равен нулю и совпадет с аналитической Вспоминая, что путем добавления к массам малых чисто мнимых отрицательных добавок (2) мы получили функции аналитические во всей плоскости импульсных переменных, мы приходим к следующему рецепту построения коэффициентных функций оператора На из коэффициентных функций оператора

Рассмотрим оператор которому соответствует некоторая (обязательно связная) диаграмма. Коэффициентные функции этого оператора при представятся выражениями, аналитическими в области малых импульсов. Аналитическое продолжение этих выражений в область больших импульсов с помощью замены (2) приведет нас опять к коэффициентным функциям оператора Для получения же коэффициентных функций оператора следует выбрать аналитическое продолжение в область больших импульсов с помощью замены

Мы рассмотрели здесь связь между коэффициентными функциями операторов

Как указывалось в § 20, если вспомогательный функциональный аргумент вводится не в виде «интенсивности взаимодействия» g, а в качестве классического внешнего поля и, то оператор

также обладает свойством причинности (20.31), ввиду чего его коэффициентные функции будут находиться в аналогичном соответствии с коэффициентными функциями матрицы . При этом оказывается, что аналитическая связь в случае произвольного введения поля и может быть установлена для этих операторов в целом, без обращения к их функциональным разложениям. Это будет продемонстрировано в главе X.