7.3. Лагранжев формализм и инварианты.
Обратимся теперь к лагранжеву формализму. Уравнения Дирака (6.20) и (6.21) могут быть получены с помощью вариационного принципа из следующего лагранжиана:
Лагранжиан спинорного поля (27) обращается в нуль, если входящие в него функции 
удовлетворяют уравнениям поля. Обычным путем получаем из (27) тензор энергии-импульса
и 4-вектор тока
Для вычисления тензора спина заметим, что после выполнения суммирования по спинорным индексам формула (2.15) для спинорного поля может быть записана в виде
Входящие сюда коэффициенты 
с помощью формул (6.27), (6.28) и правил перехода к сопряженному спинору определяются
в виде
где 
— так называемый «матричный тензор спина», введенный в (6.7):
С помощью выписанных формул приходим из лагранжиана (27) к следующему выражению для тензора спинового момента спинорного поля:
(31)
Для выполнения интеграции по трехмерному пространству и получения динамических переменных, как обычно, удобно перейти к трехмерному импульсному представлению:
Подставляя (32) и (33) в (28), полагая индекс 
и интегрируя по трехмерному пространству с учетом условия ортонормированности (16), получаем 4-вектор энергии-импульса
где, как и всюду, 
.
Принимая во внимание, что согласно (32) и (33) законы эрмитова сопряжения амплитуд 
имеют вид
убеждаемся, что в классической теории энергия спинорного поля
не является положительно определенной. Положительная определен ность энергии спинорного поля достигается лишь в квантовой теории квантованием по Ферми—Дираку.
Переходя к вычислению вектора спина, отметим, что в соответствии с (6.19) компоненты тензора спина 
могут быть выражены
через матрицы 
следующим образом:
Поэтому, полагая в 
убеждаемся, что пространственная плотность вектора спина выражается матричным «вектором» 
В противоположность спинам векторного и электромагнитного полей вектор спина спинорного поля (38) не сохраняется во времени (что связано с отсутствием симметрии у тензора энергии-импульса) Однако в том случае, когда функции поля 
не зависят от некоторых координат 
можно добиться выполнения «уравнения непрерывности» для отдельных компонент тензора S, а следовательно, сохранения во времени соответствующих интегралов. Так, полагая 
получим:
откуда следует, что проекция вектора спина на ось 
сохраняется во времени. В импульсном представлении это положение соответствует «сохранению проекции вектора спина на направление движения».
Переходя в (38) к трехмерному импульсному представлению и выполняя интегрирование по трехмерному конфигурационному пространству, получаем:
Ограничиваясь рассмотрением компоненты 
воспользуемся соотношением (19), которое представим в форме
В силу этого соотношения в системе отсчета, где 
зависящие от времени члены в 
исчезают, и мы приходим
к выражению
для дальнейшей конкретизации которого удобно перейти к какому-либо конкретному представлению матриц Дирака. В используемом нами представлении (6.18) матрица 
имеет вид
Выбирая при этом нормированные спиноры в системе 
в виде
где N — нормировочный множитель, равный
находим, что (40) принимает форму
Сравнивая выражения для энергии-импульса (34), проекции вектора спина (42) и непосредственно вытекающего из (29) выражения для заряда
находим, что спинорное поле соответствует заряженным частицам с возможными значениями проекции спина на заданную ось, равными 
. Более детальная классификация возможных значений энергии-импульса, заряда и проекции спина будет проведена после
квантования (§ 13), где она получит полное и однозначное обоснование.
