21.2. Условия ковариантности, унитарности и причинности для Sn.

Для определения конкретного вида функций Sn раскроем условия, которым удовлетворяет матрица

Из условия релятивистской ковариантности для имеем:

Производя в правой части замену переменных получаем:

откуда приходим к условию лоренцевой ковариантности для

Для учета унитарности -матрицы (20.22) умножим разложение (1) на сопряженное ему

и, обозначив для симметричной формы записи

получим:

Собирая в (6) члены одинаковой «степени» по при получаем тождество , а при находим:

При произвольных отсюда еще нельзя сделать вывода о равенстве нулю выражения

Этот вывод можно было бы сделать, если выражение (8) оказалось бы симметричным по всем аргументам . В действительности же в каждом члене (8) симметрия существует лишь внутри двух групп аргументов: Для полной симметризации выражения типа (8) введем символ

обозначающий сумму по всем разбиениям союкупности точек на две совокупности точек. При этом перестановки внутри каждой из совокупностей не учитываются, так как функции симметричны по своим аргументам. Например,

Для симметризации (7) перепишем его раз, меняя обозначения аргументов так, чтобы совокупность точек устанавливалась в аргументах функций каждый раз по-новому. Складывая полученные соотношения, благодаря неизменности весового множителя получим:

откуда следует равенство нулю выражения

ввиду его симметричности по всем аргументам. Вспоминая, что имеем отсюда:

Обратимся теперь к условию причинности (20.30). Заметим, прежде всего, что удобнее иметь дело не с величиной

которая в силу условия унитарности

антиэрмитова, а с очевидно эрмитовой величиной

Используя (1), находим:

где введены величины

симметричные по всем своим аргументам, за исключением первого. Вычисляя теперь функциональную производную от выражения (11), получаем:

откуда в силу условия причинности (20.30) и на основании симметричности функций по всем аргументам, кроме первого, следует, что

если хотя бы для одного