37.3. Производящий функционал для высших функций Грина.

Установим теперь связь правых частей в (12) с полными функциями Грина.

Выражения

представляют собой суммы всех вкладов с внешними концами в присутствии внешних источников. Отделим прежде всего несвязные вклады. Несвязные диаграммы распадаются на два класса.

Это, во-первых, диаграммы, содержащие вакуумные поддиаграммы. В отличие от рассмотренного в § 37.1, класс вакуумных диаграмм теперь значительно шире.

В качестве иллюстрации на рис. 53 изображены вакуумные диаграммы двух низших порядков в модели

Крестами обозначены «токовые» вершины, соответствующие . Как видно, количество вакуумных диаграмм, грубо говоря, удваивается. Повторяя рассуждения предыдущего раздела этого параграфа, нетрудно показать, что все несвязные диаграммы этого класса устраняются делением на

Второй класс несвязных вкладов в (20) соответствует диаграммам, несвязность которых, так сказать, органически связана с наличием токов J. Примеры таких диаграмм с двумя внешними концами для модели (21) приведены на рис. 54.

Рис. 53. Вакуумные диаграммы 2-го и 4-го порядка в теории в присутствии внешнего тока

Как видно, эти диаграммы соответствуют той возможности, что цепочка спариваний, начатая на операторе соответствующем внешней линии диаграммы, «не пройдет сквозь диаграмму», а закончится внутри нее на некотором числе «токовых» вершин. Не составляет труда убедиться, что такие возможности спариваний внутри выражений (20) соответствуют частичной или полной «факторизации», как, например,

Введем выражение

представляющее собой сумму связных диаграмм с одним внешним концом. Оно может быть интерпретировано как среднее наблюдаемое значение оператора в присутствии внешнего тока У.

Рис. 54. Несвязные диаграммы с двумя внешними концами для модели (37.21), не содержащие вакуумных вкладов.

Двухконцевая и трехконцевая функции Грина, свободные от несвязных вкладов, теперь могут быть записаны в виде

В формуле (23) мы ввели обозначение суммы связных двухконцевых диаграмм. Функцию будем называть полной двухконцевой (одночастичной) функцией Грина. Она является непосредственным обобщением функции , введенной в (5). Введенная в (24) функция представляет полную (связную) трехконцевую функцию Грина. Аналогично можно ввести высшие связные функции Грина.

Заметим теперь, что функции весьма просто выражаются через вариационные производные функционала , связанного с соотношением

Имеем

Мы видим, таким образом, что введенный в (25) функционал Z (У) является производящим функционалом для связных функций Грина