18.2. Некоторые свойства регуляризации Паули — Вилларса.

Чтобы аппроксимировать разумеется, в несобственном смысле, с помощью непрерывных и вместе с тем ковариантных функций, воспользуемся регуляризацией типа Паули — Вилларса, о которой говорилось в § 16. Положим

где — отрицательно-частотная часть функции Паули с массой М, а числа определяются из уравнений

Так как непрерывна и обладает непрерывными частными производными до порядка включительно, мы видим, что при степень полинома функции будут непрерывными.

Покажем, что массы М можно всегда выбрать таким образом, чтобы при коэффициенты оставались ограниченными. Подчеркнем, что, когда мы рассматриваем предельный переход число I всегда считается фиксированным. Возьмем какие-либо фиксированные различные числа Тогда определитель

будет отличен от нуля, и потому уравнения

в которых обозначают элементы единичной матрицы, будут иметь конечные решения . Положим

Для такой системы масс из уравнений (13) найдем:

Эти , очевидно, будут равномерно ограничены при Указанный специальный выбор (14) масс не является обязательным; для дальнейшего нам необходимо лишь, чтобы

Мы можем теперь доказать справедливость соотношения

для этого достаточно показать, что для любой функции из класса имеет место предельное соотношение

Имеем:

и потому ввиду ограниченности положение (15) будет доказано, как только мы установим, что

Но на основании (10) этот интеграл равен

С другой стороны, в силу неравенств (9) при получим:

Поэтому по абсолютной величине интеграл (16) будет меньше, чем

Итак, действительно, функции аппроксимируются в несобственном смысле непрерывными функциями

обладающими, очевидно, требуемыми свойствами ковариантности.

Мы рассмотрели только функции . Нетрудно заметить, однако, что все изложенные рассуждения могут быть непосредственно перенесены и на функции