27.4. Выделение расходимостей из П и градиентная инвариантность.

Интегрируя по , находим, что в пределе больших М

где

а

— регулярная функция.

Переходя к конфигурационному представлению, мы получаем при достаточно больших М

В пределе М со член сходится в несобственном смысле к интегрируемой функции

фурье-образ которой дается формулой (25). Выделение сингулярностей из таким образом, закончено. Заметим, что, как и в предыдущем случае, разбиение на сингулярную и конечную части выполняется неоднозначно. Следовательно, и конечная часть не является однозначной. К может быть прибавлено любое выражение, являющееся полиномом по компонентам не выше второй степени, так как сингулярная часть является в данном случае квадратичным полиномом по

Чтобы закончить анализ выражения сформулируем еще условие градиентной инвариантности, которому должно удовлетворять Нетрудно убедиться, что в матричные элементы функция подобно функции входит в следующей комбинации с потенциалами

Как указывалось в § 5, потенциалы электромагнитного поля с самого начала вводятся так, что все физически наблюдаемые

величины не меняют своего значения при градиентном преобразовании потенциалов

или, в импульсном представлении,

Поэтому требование инвариантности матричных элементов операторов типа (27)

приводит к условию

откуда следует, что функция должна иметь вид

    (29)

Ввиду того что сингулярные слагаемые в (24), (26) в дальнейшем будут компенсированы квазилокальным оператором (см. § 27.5) и вклада в не дадут, условие градиентной инвариантности должно быть наложено на регулярную часть П, которая согласно (25) удовлетворяет условию (28). Ясно также, что к (25) можно прибавить выражение

т. е. разбиение (26), вообще говоря, нужно заменить следующим:

где конечная часть Пинв инвариантна по отношению к градиентному преобразованию и в импульсном представлении имеет форму (29):

Подобным же образом может быть исследован член -матрицы, соответствующий вакуумной диаграмме рис. 17, в (см. стр. 260). Не вдаваясь в вычисления, отметим, что соответствующая функция содержит сингулярную часть, которая после выполнения регуляризации в пределе расходится как Однако вклад диаграммы рис. 17, в не содержит зависимостей от импульсов физических частиц и представляет собой число Можно показать (с учетом вкладов диаграмм высших порядков), что это число

входит в S-матрицу в виде фазового множителя и не приводит к каким-либо физическим следствиям.