13.3. Зарядовое сопряжение.

Введем операцию зарядового сопряжения спинорного поля. Если обратиться к ранее рассмотренным полям, описывающим заряженные частицы, т. е. к комплексному скалярному и комплексному векторному полям, то из структуры динамических переменных и перестановочных соотношений следует, что преобразование

к новым волновым функциям сохраняет выражения всех физических величин, кроме тока, неизменными, а у 4-вектора тока меняет знак. Таким образом, преобразование (11) соответствует переходу к частицам со знаками заряда, противоположными по отношению к первоначальным частицам.

Преобразование типа (11) называется поэтому преобразованием сопряжения заряда. Зарядовое сопряжение спинорного поля сложнее преобразования (11) из-за матричного характера (многокомпонентности) спинорных волновых функций; это есть матричное преобразование следующего вида:

Для совместности (12) нужно потребовать

Сокращенная запись (12) эквивалентна следующей записи в компонентах:

так как, по определению транспонированной матрицы, имеем всегда:

Преобразование, обратное (12), есть соответственно

Мы видим, таким образом, что определенное по (12) зарядовое сопряжение, кроме очевидного свойства тождественности двукратного

преобразования, обладает еще свойством «зеркальной» симметрии, т. е. совпадает по форме с обратным.

Конкретный вид матриц С определим, потребовав, чтобы лагранжиан свободного поля, а следовательно, и 4-вектор энергии-импульса не меняли своего вида, а 4-вектор тока менял бы знак, т. е. чтобы имели место соотношения

Для этого будет достаточно потребовать, чтобы выполнялись два соотношения:

и

причем равны либо самой либо ее производным . Во всяком случае,

Действительно, полагая один раз

а другой —

получаем из (16)

что в совокупности с (17) дает:

Полагая в (16)

получаем также

Итак, рассмотрим ограничения, налагаемые на матрицу С условиями (16) и (17).

Подставляя (18) в (16), имеем:

Учитывая антикоммутативность квантованных спиноров получаем отсюда выражение

сравнивая которое с (16), находим первое условие, налагаемое на матрицу С:

или, в транспонированной форме,

Аналогичным образом, подставляя (18) в (17), имеем:

откуда находим второе условие для матрицы С:

или

Из (19), (20) и (13) вытекает унитарность матрицы С:

Используя (20), можем записать (19) в виде

Из уравнения (22) можно определить вид матрицы С в используемом нами представлении матриц Дирака (6.18). В этом представлении

Заметим теперь, что уравнение (22), будучи записано в виде

совпадает с уравнением (6.26), определяющим вид матрицы Л для преобразования отражения осей . Матрица С поэтому в представлении (6.18) может быть выбрана равной матрице Л указанного преобразования, т. е. (см. (6.33))

В представлении имеет вид

Свойства (13) и (21), таким образом, тоже удовлетворяются.

Как указывалось, конкретный вид матрицы С зависит от представления матриц Дирака. При переходе от представления (6.18) к какому-либо иному по формулам

новую матрицу С зарядового преобразования получим из соотношения

в справедливости которого легко убедиться подстановкой выражений (24), (25) в (19) и (21).