11.3. Комплексное векторное поле.

При квантовании векторного поля мы, как и ранее в § 4, ограничимся рассмотрением комплексного векторного поля. Заметим при этом, что переход к действительному векторному полю в нижеприведенных формулах может быть выполнен с учетом изменения вида перестановочных соотношений (ср. переход от (7) к (1)).

Для установления правил квантования 4-потенциала векторного поля заметим, что механическое обобщение на этот случай

правил квантования скалярного ноля, т. е. независимое квантование каждой компоненты потенциала по образцу скалярного поля оказывается невозможным, поскольку такая процедура не обеспечивает положительности среднего значения энергии и оказывается несовместной с дополнительным условием (4.3).

Схема квантования поэтому должна быть связана с дополнительным условием, которое, как мы убедились § 4, автоматически обеспечивает положительность Там было, в частности, показано, что в результате перехода от к продольным и поперечным составляющим по формуле (4.22) 4-вектор энергии-импульса может быть выражен через три линейно независимые амплитуды ) следующим образом:

При такой записи классического 4-импульса учтено дополнительное условие (4,3) и обеспечена положительность неквантованного . Ясно также, что непосредственное квантование по Бозе—Эйнштейну трех независимых амплитуд обеспечит положительную определенность среднего значения оператора энергии.

Ввиду этого операторы должны быть подчинены следующим перестановочным соотношениям:

(все остальные коммутаторы равны нулю).

Переписывая в нормальной форме выражения 4-вектора энергии-импульса (4.27), заряда (4.28) и проекции вектора спина на направление движения (4.29), записанные с помощью амплитуд связанных с соотношениями (4.26), получаем:

Вычисляя затем соответствующие средние, убеждаемся, что суть соответственно операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом зарядом и проекцией спина на ось движения , к — операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом зарядом и проекцией спина — операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом зарядом и нулевой проекцией спина. Смысл

операторов можно получить отсюда, применяя следующее правило:

«переход от к соответствует изменению знака заряда и знака проекции спина».

Так, например, вычисляя средние значения операторов (22), (23), (24) по одночастичному (содержащему одну частицу) состоянию, определяемому амплитудой типа (5)

получаем с учетом закона эрмитова сопряжения в результате перехода к с локализованному около

Мы видим отсюда, что векторное поле (4.3), (4.6) описывает заряженные частицы с массой и тремя возможными значениями проекции спина (1, 0, —1) на направление движения. Говоря короче, это поле описывает векторные мезоны со спином 1.

Амплитуды также имеют простой смысл. Так, амплитуды соответствуют частицам с нулевой проекцией спина на направление движения, а описывают смеси состояний с проекциями спина соответствующие линейным поляризациям.

Выпишем еще перестановочные соотношения для четырех зависимых амплитуд . С помощью (4.22) без труда находим перестановки трех амплитуд :

Используя связь

определяем затем коммутаторы, содержащие

Объединяя полученные выражения, получаем формулу

    (25)

которая является релятивистски симметричной и совместной с дополнительным условием (4.3). Переходя к координатному

представлению, получаем отсюда:

где, как обычно, — перестановочная функция Паули— Йордана, — ее отрицательно-частотная часть.

Не представляет труда проверить, что перестановочные соотношения (27) являются совместными как с уравнениями поля, так и с дополнительным условием. Так, действуя на обе стороны (27) оператором Клейна—Гордона приходим к тождеству так как в соответствии с (10.18)

Применяя к (27) операцию приходим к аналогичному результату, поскольку

Практически важным случаем векторного поля является поле, описывающее изотопический триплет векторных ро-мезонов.