§ 36. Некоторые модели сильных взаимодействий

В этом параграфе мы рассмотрим три достаточно простые квантовополевые модели, иногда используемые при качественном обсуждении взаимодействия мезонов и нуклонов.

36.1. Модель

Сначала возьмем простейшую модель вещественного скалярного поля с нелинейным кубичным членом в лагранжиане

Этот член можно рассматривать как взаимодействие поля самого с собой. После перехода к представлению взаимодействия получаем лагранжиан взаимодействия в виде

Отметим сразу же, что волновое поле, определяемое лагранжианом (1), по своей природе совершенно фиктивно, однако его изучение представляет определенный методический интерес, поскольку лагранжиан (2) наиболее прост с аналитической точки зрения, а описание этого поля в схеме теории взаимодействия основывается на единственной, самой простой причинной функции скалярного поля

Проведем согласно общему рецепту § 32 классификацию диаграмм, соответствующих расходящимся матричным элементам.

Рис. 47. Расходящиеся диаграммы модели

Из структуры лагранжиана «взаимодействия» (2) следует, что в каждой вершине диаграмм Фейнмана встречаются три одинаковые линии.

Ввиду того, что степень полинома в числителе причинной функции (3) равна нулю, из (32.1) находим, что максимальный индекс вершины отрицателен:

и лагранжиан (2), таким образом, относится к ренормируемому типу. Формула (32.5) позволяет теперь провести полную классификацию расходящихся диаграмм.

Начнем рассмотрение с вакуумных диаграмм которые в данном случае всегда содержат четное число вершин. Из (32.5) следует, что индекс вакуумных диаграмм неотрицателен лишь при . В первом случае положение соответствует диаграмме, изображенной на рис. 47, а, причем и мы приходим к квадратичной расходимости, а во втором (рис. 47, б и в) и расходимость носит логарифмический характер.

Для диаграмм, имеющих одну внешнюю линию число вершин в рассматриваемом случае (2) всегда нечетно. Диаграммы с одной вершиной при одной внешней линии не существует, а диаграмма с тремя вершинами изображенная на рис. 47, г,

приводит к логарифмической расходимости Других расходимостей в случае не возникает.

Наконец, единственной расходящейся диаграммой при двух внешних линиях является диаграмма с двумя вершинами (рис. 47, д). Ее индекс равен нулю, и соответствующая расходимость — логарифмическая.

Диаграммами, изображенными на рис. 47, исчерпываются все сильно связные расходящиеся диаграммы модели Подчеркнем, что наличие конечного числа расходящихся диаграмм является важной отличительной чертой лагранжиана (2). Как мы увидим ниже, в других теориях, как правило, в любых сколь угодно больших порядках по константе связи, существуют расходящиеся диаграммы и их общее число оказывается бесконечным.

В рассматриваемом случае расходимости содержатся лишь во втором, третьем и четвертом порядках. Соответствующие регуляризующие квазилокальные операторы имеют поэтому вид

и после выполнения интеграций приводят к контрчленам

причем константы А, В и С при расходятся логарифмически, а — квадратично.

С перенормировочиой точки зрения контрчлены С и являются несущественными аддитивными константами, член приводит к перенормировке массы, а член осуществляет аддитивную перенормировку потенциала и дополнительную перенормировку массы:

где

а суть константы, алгебраически выражающиеся через . Заметим также, что из-за отсутствия дифференциальных операторов в квазилокальных операторах, зависящих от функций поля , контрчлены для уравнения Шредингера имеют вид

Таким образом, в модели (2) отсутствуют бесконечные перенормировки функции поля и константы связи g. Единственной физически существенной расходимостью является расходимость, соответствующая собственно-энергетической диаграмме второго порядка, изображенной на рис. 47, д. Эта расходимость приводит к перенормировке массы. Изучим ее более подробно.

Диаграмма рис. 47, д дает добавку к свободной функции Грина поля

или, в импульсном представлении,

Массовый оператор второго порядка может быть представлен в виде

где

Интеграл в импульсном представлении имеет вид

и расходится логарифмически. Для его вычисления следует использовать -операцию. Производя вычитание в точке , получаем после стандартных вычислений с помощью формул (27.6), (27.7), (27.13)

Проводя в правой части (13) ряд преобразований, использованных выше в § 35.1 при вычислении поляризационного оператора, приведем 1% к спектральной форме

Этот интеграл может быть вычислен до конца и представлен в виде

где определено в (35.11).

Параметр к следует выбирать таким образом, чтобы вычитаемая константа, переходящая в пределе снятия промежуточной регуляризации в массовый контрчлен

была бы действительной, а контрчлен — эрмитовым. Как следует из (14) и (11), это будет обеспечено при

В частности, можно положить , т. е. вычесть диаграмму собственной энергии на «массовой поверхности». В этом случае

или

Вычитание радиационных поправок к одночастичной функции Грина на массовой поверхности удобно тем, что при этом полная функция Грина имеет ту же полюсную структуру при , что и свободная функция Грина

Введенная здесь безразмерная функция d конечна при . В нашем случае, согласно (9), (10) и (17),

Это выражение конечно в окрестности массовой поверхности

имеет корневую особенность на двухчастичном пороге

и логарифмическую в ультрафиолетовой асимптотике