39.3. Сингулярности обобщенного гамильтониана.

Исследуем более подробно предельный переход, предписываемый формулой (14). При этом, чтобы не сталкиваться с дополнительными осложнениями, связанными с проблемой ультрафиолетовых расходимостей, будем исходить из регуляризованного выражения для с конечными вспомогательными массами М.

Начнем с члена второго порядка в Из уравнений (21.12) и (21.41) находим

Если регуляризация проведена для каждой внутренней линии, то при конечных М выражение

является регулярным, и интеграл от произведения его на по области (12) в пределе обращается в нуль, поскольку сама область при этом сжимается в точку. В то же время соответствующий интеграл

с квазилокальным оператором, содержащим -функцию, отличен от нуля.

Совершенно аналогичными рассуждениями можно установить, что в более общем случае имеет место предельное равенство

Для доказательства этого, представив в виде суммы двух членов:

достаточно убедиться в том, что оператор содержит число -функций, меньшее , и потому -кратная интеграция его по бесконечно малой области также даст нуль.

Итак, предельное (при ) выражение для плотности гамильтониана имеет вид (Суханов (1962а))

Особенности этого выражения проиллюстрируем на двух примерах.

В теории с взаимодействием к квазилокальные операторы с производными относятся лишь к вакуумным членам, не содержащим операторов полей. Их вклад в предельный гамильтониан (15) пропорционален интегралу

обращающемуся в нуль вследствие убывания функции g на бесконечности. В остальных членах квазилокальные операторы не содержат производных, и предельный переход (15) с учетом свойств симметрии операторов (подробнее см. Суханов (1962 а)) дает:

где эффективный лагранжиан теории определен формулой (36.7).

В теории производные в содержатся уже в операторных членах. При выполнении интеграций по в (15) эти производные перейдут как на поля , так и на функции . В членах

первого типа предельный переход допустим и (в совокупности с пределом членов без производных) дает выражение, аналогичное (17). Для членов же второго типа формального предела не существует. Действительно, во втором порядке по будет давать вклад выражение

По тем же соображениям, что и в (16), первый член разности здесь обращается в нуль. Во втором члене в пределе появляется выражение неинтегрируемого типа, поскольку . Подчеркнем, что эта трудность возникает и при конечных вспомогательных массах М, она связана с резким выключением взаимодействия на пространственно-подобной поверхности Существование расходимостей такого типа впервые было отмечено Штюкельбергом (1951), который назвал их поверхностными.

Формально предел можно доопределить как расширение функционала определенного на основных функциях, обращающихся в О в точке на все основные функции класса . Такое расширение (см., например, Владимиров (1964)) имеет вид

где С — произвольная постоянная. В этом случае выражение (18) примет вид

Аналогичные вклады (с новыми произвольными постоянными) возникают от старших порядков по

Таким образом, в теории формальное доопределение (19) предельного перехода приводит к виду (Суханов, 19626):

где эффективный лагранжиан определен формулой (21.39), а представляет собой сумму вкладов в переиормировочный множитель от различных порядков теории возмущений, умиожеииых на произвольные постоянные с (при эти вклады расходятся).

Посмотрим, как проявляет себя этот произвол в решении уравнения Томонага—Швингера (13), которое естественно искать в виде

Мы имеем

причем определяется формулой (20). Очевидно, вклад второго члена в (20) сосредоточен на поверхности Поскольку при этом коммутируют при равных временах, этот вклад можно вынести из-под знака Т-Экспоненты и выделить в отдельный экспоненциальный множитель слева:

Гаким образом, весь произвол в появляющийся при доопределении предельного перехода удается выделить в унитарный операторный множитель, сосредоточенный на поверхности а. Заметим, что этот произвол не сказывается на полной S-матрице.

Отметим, что рассуждения, приведшие нас к формулам (15) и (20), справедливы лишь в случае, когда регуляризация проводится для каждой внутренней линии диаграммы. Такая регуляризация, конечно, «избыточна»; для устранения расходимостей было бы достаточно регуляризовать только сильно связные части диаграмм: однако ее преимуществом является простота формул типа (15) и (20). При минимальной же регуляризации выражения типа

вообще говоря, не регулярны и содержат квазилокальную компоненту, если в лагранжиане имеются производные. Действительно, слабо связной диаграмме отвечает член с единственной сверткой, возникающий при раскрытии Г произведения лагранжианов, причем соответствующая линия теперь не регуляризуется. Поэтому, например, две временные производные, подействовав на свертку дадут квазилокальный член, пропорциональный б (Ранее, при неминимальной регуляризации, множителем при этом члене стояла обращающаяся в нуль сумма коэффициентов Паули—Вилларса.)

В итоге, в каждом порядке по наряду с вкладом от операторов в пределе появляется дополнительный квазилокальный вклад в

так что вместо (15) будет справедлива формула (Суханов (1961))

где

Заметим, что предельный переход в члене с также приводит к поверхностным расходимостям, поскольку операторы как и могут содержать производные.

В примере теории предельное выражение для обобщенного гамильтониана при минимальной регуляризации приобретает вид:

Последний член, как и ранее, приводит в матрице S (а) к (другому) унитарному множителю, сосредоточенному на поверхности а. Второй член, отличающий от —X , всегда присутствует в теориях с производными. Об этом отличии уже упоминалось в конце § 21 в связи с двумя формами S-матрицы — виковой и дайсоиовой.

Подчеркнем, что все рассуждения мы проводили при конечных вспомогательных массах. В пределе перенормировочные константы в эффективном лагранжиане расходятся.

Отсюда следует, что в некоторых случаях можно сразу записать «настоящее» уравнение Шредингера (с мгновенным выключением), но тогда в нем автоматически появляются расходящиеся члены.

Мы видим поэтому, что между матрицей рассеяния и уравнением Шредингера существует свойство дополнительности смысле наличия бесконечноапей, даже после выделения поверхностных членов в унитарный множитель. Так, в обычной теории гамильтониан (т. е. уравнение Шредингера) регулярен, но в S-матрице содержатся бесконечные члены. С другой стороны, мы только что убедились, что если регуляризовать матрицу рассеяния, то расходимости автоматически появляются в уравнении Шредингера.

В этой связи можно сделать следующее предположение о физической природе появления таких расходимостей. При мгновенном выключении взаимодействия влияние этого процесса на систему столь велико, что практически полностью невозможно определить какие-либо характеристики системы до процесса выключения. С формальной точки зрения мы имеем здесь некоторую аналогию с соотношениями неопределенности Гейзенберга, которые, как известно, связаны с самыми общими свойствами волновых процессов.

Мы приходим к выводу, что в общем случае можно довольно просто записать конечное уравнение для амплитуды , где g — достаточно гладкая функция, но невозможно перейти к пределу и получить имеющую смысл амплитуду при снятии регуляризации, т. е. при

Таким образом, вообще говоря, уравнения Шредингера и Томонага—Швингера в квантовой теории поля могут иметь лишь чисто формальное значение.

Итак, чтобы избежать появления бесконечностей в теории, мы должны работать с достаточно гладкими При этом можно заметить, что для сходимости рассматриваемых интегралов нет необходимости требовать, чтобы была равна нулю всюду вне слоя толщиной . Достаточно потребовать, чтобы достаточно быстро (например, экспоненциально) убывала вне этого слоя и была бы всюду достаточно гладкой. Совершенно очевидно, что класс G таких функций будет релятивистски-инвариантным по отношению к любому лоренцевому преобразованию L, т. е. если , то также и