9.3. Трансформационные свойства амплитуды состояния и операторов поля.

Исследуем теперь трансформационные свойства амплитуд состояний Ф при преобразованиях координат и полевых функций типа рассмотренных в § 2:

Здесь — независимые параметры преобразования.

Преобразованию (11) соответствует некоторое преобразование вектора состояния, которое вследствие принципа суперпозиции должно быть линейным:

Для гого чтобы обеспечить инвариантность нормы амплитуды состояния, оператор преобразования U, зависящий от параметров преобразования и, должен удовлетворять соотношению

Обсудим смысл унитарного преобразования (12). Формулы (12) и (13) соответствуют формулам (4) и (8). Преобразование вектора состояния (12) является альтернативой преобразования операторной волновой функции при преобразовании (11).

Для вычисления среднего значения динамической величины в новой системе координат следует либо рассмотреть среднее от преобразованного оператора В по исходным векторам состояний Ф, либо среднее от исходного операторного выражения В по преобра зованным т. е.:

Под В мы подразумеваем как сами операторные функции полей, так и динамические переменные типа энергии-импульса, заряда и т. п., выражающиеся через их билинейные комбинации.

В частном случае, когда В — полевая операторная функция в х-представлении, получаем из (14)

или, с учетом (12),

Требование совместности преобразований (11) и (15) приводит к важным условиям на операторы, рассмотренным ниже.

Рассмотрим конкретный случай преобразования из неоднородной группы Лоренца

где — бесконечно малые параметры трансляций и поворотов.

Оператор преобразования амплитуды состояния

представим в виде

Бесконечно малая величина в силу (13) должна быть антиэрмитова, а также линейна по а и со. Напишем поэтому

где Р и М — эрмитовы операторы.

Преобразование амплитуды состояния

по виду совпадает с бесконечно малым преобразованием скалярной функции поля

соответствующим (16), причем коэффициенты имеют смысл обычных квантовомеханических операторов 4-импульса и тензора момента количества движения

Это обстоятельство отражает тот факт, что 4-импульс и момент являются генераторами трансляций и вращений.

Исходя из соображений соответствия, мы будем поэтому интер претировать как операторы 4-вектора энергии-импульса и тензора момента количества движения соответственно. Разумеется, в квантовой теории поля, где амплитуда Ф не зависит от координат х явным образом, мы не можем использовать формулы типа (19) и должны выбрать в качестве Р и М некоторые операторы, действующие на амплитуду состояния. Аналогично этому при градиентных преобразованиях функций поля

унитарный оператор преобразования

имеет разложение

в котором эрмитов оператор Q следует интерпретировать как оператор заряда.