51.5. Анализ двухзарядной модели.

В заключение рассмотрим двухзарядную пион-нуклонную модель

    (36.44)

С современной точки зрения она не представляет физического интереса и мы приведем результаты ее ультрафиолетового анализа в однопетлевом приближении из чисто методических соображений. Исторически она была первой двухзарядной моделью, для которой была записана и качественно проанализирована система дифференциальных уравнений Ли однопетлевого приближения

(см Ширков (1955)).

Как отмечалось в § 49.2, эту систему удобно исследовать методами качественной теории дифференциальных уравнений. Для этого нужно знать положительные однопетлевые коэффициенты численные значения которых приведены ниже в таблице III.

Рис. 65.

Результаты этого исследования (Гинзбург (1956)) удобно представить на фазовой плоскости переменных и h (рис. 65). На этом рисунке изображены интегральные кривые в полуплоскости . Импульсная переменная является параметром, возрастающим вдоль кривых, в направлениях, указанных стрелками. Каждой паре значений констант связи h и соответствует одна интегральная кривая, такая, что . Исключение составляет начало координат через которое проходит бесконечное множество интегральных кривых. Эта точка является особой. Переход от одной точки данной интегральной кривой к другой точке есть переход от одного значения

параметра I к другому или переход от одной нары констант связи к другой при преобразованиях (47.13).

Система обладает тремя особыми решениями;

где

Решения являются неустойчивыми, а решения — устойчивыми особыми решениями. Линия, соответствующая неустойчивому особому решению является границей раздела между областями фазовой плоскости. В области II все решения стремятся к устойчивому особому решению которое поэтому является асимптотическим для этой области. В области слева от границы раздела при решения асимптотически уходят в окрестность особого решения , т. е. в область

Таким образом, для установления ультрафиолетовых асимптотик достаточно проанализировать два устойчивых решения.

а) Особое решение Решая уравнения (26а), находим

Здесь определяющим является инвариантный заряд по которому происходит выход за рамки слабой связи. В асимптотических расчетах эффективно можно полагать

Решая уравнения (49.29) для функций Грина и вершинных функций, находим соответствующие симметричные асимптотики:

    (30)

Числовые значения параметров для нейтрального и изотопически симметричного вариантов пион-нуклонного взаимодействия приведены в таблице III.

б) Особое решение . В этом случае следует решать уравнение (266) при . Такое уравнение было нами изучено в § 61.1. Решение имеет вид

Таблица III

Здесь происходит выход за рамки слабой связи за счет роста Н. Для того, чтобы исследовать окрестность особого решения, в уравнении для g следует учесть член, содержащий (который не был учтен в (26а)) и опустить член

Решение этого уравнения, в котором h определено по (31), имеет вид

В этом случае также

Таким образом, как в области так и в области II при достаточно больших значениях аргумента происходит выход за рамки слабой связи, независимо от степени малости начальных значений

Отметим, что при для особого решения выход за рамки слабой связи не происходит. Однако это решение, соответствующее полному отсутствию юкавского взаимодействия в лагранжиане (36.44), неустойчиво и при сколь угодно малом интегральные кривые уходят на асимптотику

Итак, мы установили, что двухзарядовая модель (36.44) пион-пуклонных взаимодействий (так же как и спинорная электродинамика) приводит к выходу за рамки слабой связи, т. е. к ситуации эквивалентной положительности функции Р в однозарядных моделях. Формально в нижнем приближении мы получили выражения для и h, содержащие призрачные полюса. Однако на основании опыта, извлеченного из анализа модели мы можем сказать, что

для реального выбора между возможностями а), б) и в) (§ 49.2) у нас нет достаточных оснований. Достаточно убедительные аргументы такого сорта не могут быть получены на основе данных теории возмущений,

Качественно важным результатом здесь представляется то обстоятельство, что «нуль-зарядные» свойства взаимодействия юкавского типа (проявляющиеся и в электродинамике) не могут быть исправлены добавлением 4-скалярного взаимодействия независимо от его знака. Эта ситуация является типичной для широкого класса юкавских и 4-скалярных моделей, употребительных при феноменологическом описании адронных взаимодействий.

Таким образом, общий, довольно неутешительный вывод для всех таких моделей состоит в неизбежмости выхода за рамки слабой связи и в принципиальной недостаточности теории возмущений для качественного анализа ультрафиолетовых асимптотик.