29.6. Выбор операции

Установив это важное свойство, приступим к конкретному построению операции . Рассмотрим, прежде всего, случай, когда массы частиц всех рассматриваемых полей больше нуля. Как мы только что выяснили, эффективная степень полюса выражения в -представлении равна

С другой стороны, из (16) и (18) следует, что каждое дифференцирование по компонентам импульсов снижает степень полюса на 1/2. Поэтому, взяв частную производную порядка по компонентам

получим выражение, в котором эффективная степень полюса уменьшится на и окажется равной . Выбирая , мы получим под интегралом фактор Так как, однако, все наши функции были рациональными функциями переменных а, они должны быть рациональными и по Поэтому множитель фактически отсутствует,

Заметим теперь, что если из функции вычесть сумму всех первых членов ее разложения в ряд Маклорена до членов порядка включительно, то остаточный член

по известной формуле Шлемильха выражается в виде интеграла от частных производных порядка Таким образом, в остаточном члене эффективная степень полюса равна нулю.

Определим теперь операцию следующими рекуррентными соотношениями:

если обобщенный блок G совпадает с обычной вершиной,

в прочих случаях. Символ под знаком суммирования напоминает о разбиении G на обобщенных узлов (см. формулу на стр. 289 перед (14)).

Здесь операция определена соотношениями

если G — сильно-связный расходящийся обобщенный блок, и во всех других случаях. С учетом равенства (28а) формулу (9) для -операции можно теперь переписать следующим образом:

Из этих формул следует, что

где

и, поскольку в J особенность по Я не выше, чем в то R (G) J в точке вообще не имеет особенности. Теперь можно снять вспомогательную регуляризацию и перейти к пределу

Таким образом, приложение последней операции устраняет особенности при пропорциональном стремлении всех а к нулю. Так как операции одновременно с этим компенсируют особенности в области стремления к нулю лишь некоторых из а, то в особенностей нет вообще. Последнее утверждение составляет содержанке важной теоремы, доказательство которой дано Паргсюком (1955, 1956) (см. также Боголюбов, Парасюк (1955а, б, 1956, 1957), Хепп (1966), Аникин, Завьялов, Поливанов (1973)).

Рассмотренный выше способ построения операции содержит определенный произвол, состоящий в выборе центра разложения в точке Поэтому операцию можно несколько обобщить.

С этой целью рассмотрим систему конечных полиномов степени не выше и (G), таких что выражения

являются импульсными представлениями коэффициентных функций некоторых эрмитовых, ковариантных квазилокальных операторов Наиболее общее выражение операции можно получить, определяя ее для сильно-связных обобщенных узлов как сумму ранее введенной операции (286) и операции добавления полинома Zq, т. е.

где Z (G) — оператор соответствующей замены.

Отвечающее (28в) наиболее общее выражение для отличается от полученного ранее включением эрмитовых ковариантных операторов Но добавление в некоторых может быть учтено изменением эффективного лагранжиана взаимодействия. Таким образом, изменение рецептуры построения интегрируемых коэффициентных функций эквивалентно добавлению к эффективному лагранжиану новых конечных контрчленов. Поэтому можно считать, что Т-произведение всегда определено, например, посредством (28в), но имеется произвол в выборе лагранжиана. Этот произвол состоит в возможности включения в членов, соответствующих

квазилокальным операторам типа (21.37), связанным с обобщенными сильно-связными узлами G с неотрицательным индексом .