29.4. Индекс диаграммы и степень расходимости.

Для конкретизации оператора A (G) введем еще понятие индекса диаграмм мы. Перейдем с этой целью к импульсному представлению. Коэффициентные функции T-произведения в -представлении, очевидно,

будут иметь вид

Здесь в аргументах -функций стоят алгебраические суммы импульсов внутренних линий диаграммы, сходящихся в вершины q, к которым добавлены внешние импульсы .

В соответствии с принятой нами процедурой регуляризации -функций имеем также

где — тот же полином степени , что и в нерегуляризованной -функции.

Если в (11) перейти к пределу то весь интеграл может оказаться расходящимся при больших импульсах. Подсчитаем сейчас суммарную степень его расходимости. Поскольку мы рассматриваем связные диаграммы, с помощью S-функций снимается интеграций (одна остающаяся S-функция выражает закон сохранения полного 4-импульса) и остается независимых переменных интеграции, где L обозначает полное число внутренних линий.

Подобно тому как при интеграции по трехмерному пространству в качестве переменной интеграции вводится радиус, введем при выполнении интеграции по -мерному пространству соответствующий «радиальный» импульс Р. Тогда произведение независимых дифференциалов даст множитель .

Учитывая лишь старшие степени импульсов в функциях , получаем множитель

и поэтому при выполнении интеграции по Р множитель при при больших Р будет возрастать или убывать как

Интеграл по Р окажется, таким образом, расходящимся, если

и сходящимся при

Число

мы назовем индексом диаграммы G.

Разумеется, из сходимости интеграла по Р еще не следует сходимость интеграла типа (11) в целом.

Здесь может возникнуть положение, подобное тому, когда при вычислении интеграла

интеграл

по радиальной переменной сходится, но остающийся интеграл по из-за особенности в точке оказывается расходящимся.

Индекс диаграммы и (G) можно связать также с условной степенью роста по импульсу. Для ее подсчета умножим все импульсы и массы на некоторое число а и подсчитаем, на какой множитель изменится интеграл (11), не учитывая регуляризации и принимая во внимание лйшь высшую степень а. Нетрудно видеть, что этот множитель равен как раз

Таким образом, индекс диаграммы в точности равен условной степени роста.

Заметим, что степень роста называется условной потому, что оценка (13) проводится чисто формально, без тщательного анализа сходимости интеграла, и не учитывает наличия логарифмически расходящихся факторов.

Обратим внимание на тот факт, что при разбиении G на обобщенных узлов:

мы будем иметь

причем вторая сумма в правой части распространяется по всем линиям, соединяющим обобщенные узлы

Рассмотрим, далее, коэффициентную функцию . В импульсном представлении она имеет вид

где — некоторый полином по компонентам .

Как мы увидим позже, для компенсации расходимостей в T-произведении достаточно выбрать в качестве полином степени и . Из (14) следует, что при таком выборе ни суммарная степень расходимости, ни условная степень роста по импульсу не увеличатся от приложения операции , а следовательно, и (G) не увеличивается от приложения операции R (G) в целом.

Как мы уже убедились на рассмотренных выше примерах, при анализе и вычислении интегралов типа (И) удобно пользоваться интегральным представлением причинных функций (мы будем называть его ниже «а-представлением»)

где

Удобно представить множитель в экспоненциальном виде. Для этого воспользуемся соотношением

После этого интеграция по внутренним импульсам в (11) сведется к квадратурам гауссова типа

и останутся только интеграции по переменным

Выполняя интеграцию по находим, что

где F является полиномом по k и рациональной функцией от а, обладающей неинтегрируемыми полюсами при обращении в нуль некоторых а. Ввиду того, что сходимость интеграла (16) при больших

а обеспечивается факторами возможные его расходимости в нерегуляризованном случае в данном представлении обусловливаются наличием именно этих неинтегрируемых полюсов.

Чтобы выяснить структуру особенности в нерегуляризованной коэффициентной функции, введем новые переменные

и, фиксировав подсчитаем степень полюса в точке Переходя для этого в (15) к новым «импульсам»

представим левую часть (15) в виде

Выполняя интегрирование по получаем после сокращения на при малых X

Таким образом, эффективная степень полюса по X при с учетом значения детерминанта

действительно определяется индексом диаграммы