56.3. Схема получения дисперсионных соотношений для амплитуды рассеяния вперед.

В случае рассеяния вперед, когда

а также

Формулу (28) можно использовать для аналитического продолжения амплитуды Т на комплексные значения энергетической переменной Е. Рассмотрим также соответствующее продолжение формулы (29), полагая

и рассматривая Е как переменную, не зависящую от q (т. е. сойдем с массовой поверхности пи-мезона).

Первый член (29) дает вклад, отличный от нуля, при

или, что то же, при

Вклад второго члена отличен от нуля при

Таким образом, на отрезке действительной оси вклад в Т дает лишь промежуточное одноиуклонное состояние при двух значениях энергии, связанных с квадратом 4-импульса соотношением (30). Поэтому, если мы введем в рассмотрение вместо функций F выражение

что в импульсном представлении эквивалентно умножению на полином

то при значениях функции будут равны нулю, вследствие чего

Из (28) следует, что точки являются, вообще говоря, точками ветвления функций Т. Чтобы устранить двузначность квадратного корня проще всего рассматривать вместо функций их симметризованные и антисимметризованные комбинации

совокупность которых мы в дальнейшем будем обозначать через ST. Функции могут быть продолжены на область комплексных значений Е следующим путем. Введем выражения

где в соответствии с (35)

Ясно, во-первых, что из-за наличия множителя функция будет аналитической в верхней полуплоскости комплексных значений Е, а — в нижней. Во-вторых, по (34)

Таким образом, совокупность функций Ф и представляет собой функцию

аналитическую во всей комплексной плоскости аргумента , за исключением линий разреза

При этом значения Ф на верхних берегах разрезов равны значениям а на нижних — значениям

Обозначая теперь порядок роста функции Ф при больших Е через можно использовать интегральную теорему Кошв для выражения

где — некоторый вещественный параметр, значения которого находятся в интервале

Рис. 68.

Выберем контур интегрирования, состоящий из окружности малого радиуса 6 вокруг точки двух полуокружностей большого радиуса R и соединяющих их контуров вдоль линий разреза, отстоящих от последних на расстоянии 6 (рис. 68). Устремляя R к бесконечности, интегралы по большим полуокружностям обратим в нуль. Переходя затем к пределу при , получим

где — полином степени от Е. В интегралах (40) перейдем к пределу при . Ввиду того, что интегрирование проводится по наблюдаемой области в соответствии с (36) и (37) числители подынтегральных выражений примут вид

При этом сами интегралы, умноженные на при будут представлять функции, аналитические во всей плоскости комплексного переменного Е, за исключением линий разреза (39). Из (40) следует поэтому, что при правая часть определяет функцию аналитическую во всей плоскости Е, за исключением двух упомянутых разрезов. Но, как следует из (33), (36), (37) и (40), отличается от функции

лишь множителем

который на массовой поверхности (при ) принимает вид:

Итак, возвращаясь на массовую поверхность, получаем

Поэтому ясно, что функция также будет аналитической во всей комплексной области переменной , за исключением двух линий разреза (39) и точек, в которых множитель (42) обращается в нуль. В последних, лежащих вне разрезов, функция будет иметь полюсы первой степени.

При этом на бесконечности функция ST будет возрастать не быстрее полинома порядка.

Рис. 69. Контур интегрирования при получении дисперсионного соотношения для рассеяния вперед.

Следовательно, к функции

можно применить интегральную формулу Коши, причем контур интегрирования следует выбирать с учетом наличия дополнительных полюсов, связанных с множителем (42):

т. е. добавить две окружности вокруг этих полюсов (см. рис. 69).

Переходя затем к пределу при сведем интегральный член к интегралам по наблюдаемой области (аналогично (40)) и к вычетам в полюсах .

Получим

При этом согласно (41), (20) и (16) физическая амплитуда рассеяния f выражается через предельные значения функции ST на верхнем берегу правого разреза

    (44)

Уравнение (43) представляет собой спектральное представление для амплитуды ST, продолженной на комплексную плоскость переменной Е. Если с помощью (44) выполнить в (43) предельный переход к действительным физическим значениям Е, лежащим на верхнем берегу правого (физического) разреза, то мы получим «дисперсионное соотношение для амплитуды пион-нуклонного рассеяния, по своей общей структуре вполне аналогичное соотношениям (52.4) и (52.5). Мы приведем этот переход во всех деталях в § 57, где будут получены в явном виде так называемые физические дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния вперед.